"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии — это результат сложения её членов от первого до n-го; её обозначают Sₙ. Чтобы найти сумму, не обязательно складывать числа по одному: попарное сложение крайних членов приводит к формуле Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2. Если последний член неизвестен, его можно выразить через первый член и разность. Выбор формулы зависит от того, какие данные задачи уже известны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Суммой n первых членов арифметической прогрессии называют выражение a₁ + a₂ + … + aₙ. Его коротко обозначают Sₙ, где индекс указывает, сколько членов сложено. Такая запись особенно удобна, когда членов много: вместо длинного сложения можно работать с одной буквой и специальной формулой.
В записи Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ буква a₁ обозначает первый член прогрессии, а aₙ — её n-й член. Число n показывает количество слагаемых, а не просто номер, который можно подставить без проверки условия. Это различие помогает правильно определить, сколько членов нужно включить в сумму.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают прибавлением одного и того же числа. Это число называют разностью и обозначают d; например, если a₂ − a₁ = 3, то d = 3. Разность позволяет найти любой член и выразить сумму, даже когда последний член заранее не указан.
Если известны первый и последний из складываемых членов, используют формулу Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2. Она применима вместе с числом слагаемых n и не требует знания каждого промежуточного члена. Когда вместо aₙ известна разность, последний член можно выразить через a₁ и d и получить другую форму формулы суммы.
Записать сумму первых n членов можно полностью: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Для большого n такая запись становится громоздкой, а складывать члены по одному долго. Обозначение Sₙ позволяет описывать всю сумму кратко и сразу применять к ней формулы.
Чтобы увидеть способ вычисления, выпишем сумму в прямом порядке и рядом ту же сумму в обратном: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ, Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁. Складывая эти равенства почленно, получаем 2Sₙ = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + … . Каждая пара равна a₁ + aₙ, потому что при движении по арифметической прогрессии один член пары увеличивается ровно настолько, насколько другой уменьшается.
Если n чётное, все члены можно разделить на n/2 пар, и каждая даст сумму a₁ + aₙ. Если n нечётное, пар будет (n − 1)/2, а посередине останется один член. Он равен среднему арифметическому крайних членов, то есть (a₁ + aₙ)/2, поэтому вместе с парами получается тот же итог. В обоих случаях 2Sₙ = n(a₁ + aₙ), откуда Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2.
Для перехода ко второй формуле используем общий член арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Подставим это выражение вместо aₙ в формулу суммы: Sₙ = (a₁ + a₁ + (n − 1)d)n/2. После объединения одинаковых слагаемых получаем Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2.
Формулы описывают одну и ту же сумму, но исходные данные в задачах бывают разными. Если известен aₙ, удобнее подставить его в формулу через крайние члены. Если заданы a₁, d и n, можно применить формулу через разность и не вычислять последний член отдельно. Оба способа дают одинаковый результат, если все данные подставлены верно.
| Что известно | Формула | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| Первый и n-й члены, число членов n | Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2 | Когда известен последний член |
| Первый член, разность и число членов n | Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2 | Когда последний член нужно выразить через разность |
| Число слагаемых n чётное | Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2 | Можно объединить все члены в n/2 пар |
| Число слагаемых n нечётное | Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2 | При попарном сложении отдельно учитывается средний член |
Сначала посмотри, какие величины уже известны, и выбери подходящую строку таблицы. При нечётном n формула не меняется: отдельно учитывать средний член нужно только при объяснении попарного сложения. Если используешь формулу через разность, помни, что в ней должно быть ровно n слагаемых.
Задача 1. Найдём сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 3 и a₁₂ = 36. Здесь известны оба крайних члена и количество слагаемых, поэтому дополнительный расчёт не нужен. Подставим данные в формулу через первый и последний члены.
Ответ: 234.
Задача 2. Найдём сумму первых 15 членов, если a₁ = 4 и d = 3. Последний член не дан, поэтому сначала определим его по формуле общего члена. После этого используем формулу суммы через крайние члены.
Ответ: 375.
Задача 3. При a₁ = −5 и d = 2 нужно определить, сколько первых членов сложить, чтобы получить 77. Здесь неизвестно число членов, поэтому обозначим его буквой n и составим уравнение по формуле суммы через разность. Полученное решение обязательно проверим: n должно быть натуральным числом.
Ответ: нужно сложить 11 первых членов.
Иногда за n принимают номер последнего члена, не уточняя, сколько слагаемых указано в задаче. Это может случиться, если условие описано словами, а не записью Sₙ; например, сумма с первого по десятый член содержит 10 слагаемых. Перед подстановкой выпиши начальный и конечный индексы и посчитай члены.
В формуле общего члена иногда пишут aₙ = a₁ + nd вместо aₙ = a₁ + (n − 1)d. Ошибка возникает из-за того, что номер члена принимают за число переходов от первого члена. Проверь формулу на втором члене: при n = 2 должно получиться a₂ = a₁ + d.
Если забыть умножить полусумму крайних членов на n, выражение (a₁ + aₙ)/2 ошибочно принимают за всю сумму. На самом деле это среднее арифметическое крайних членов, то есть величина, соответствующая одному члену, а не всем n слагаемым. Проверь наличие множителя n и сравни результат с числом слагаемых в задаче.
При решении уравнения относительно n могут появиться два корня, но не каждый из них подходит. Отрицательное или дробное значение нельзя считать количеством членов, а натуральный корень ещё должен удовлетворять исходному условию. Подставь подходящее значение обратно в формулу суммы и проверь полученный результат.
Для вычисления суммы полезно уметь находить n-й член арифметической прогрессии по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d. Эта формула объясняет, почему при переходе от первого члена к n-му прибавляют разность n − 1 раз. Она же позволяет перейти от формулы суммы через последний член к формуле через a₁ и d.
Понимание разности прогрессии помогает распознавать закономерность и работать с буквенными выражениями. В задачах, где неизвестно число членов, формула суммы приводит к квадратному уравнению, поэтому понадобятся навыки его решения и проверки корней. Суммы прогрессий встречаются в задачах на последовательности и подсчёт накапливаемых величин, а также подготавливают к изучению сумм других последовательностей.
Что обозначает Sₙ?
Sₙ — сумма первых n членов арифметической прогрессии: a₁ + a₂ + … + aₙ. Индекс n показывает, сколько членов сложили.
Почему сумму можно найти, зная только первый и последний члены?
Если сложить первый член с последним, второй с предпоследним и так далее, каждая пара даст одну и ту же сумму a₁ + aₙ. Поэтому достаточно умножить эту сумму на число пар, учитывая отдельно средний член при нечётном n.
Какую формулу суммы использовать, если известны a₁ и d?
Используй формулу Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2. В ней первый и последний члены выражены через первый член и разность прогрессии.
Нужно ли сначала находить последний член прогрессии?
Если известны a₁, d и n, можно сразу применить формулу суммы через разность. Но разрешается сначала найти aₙ = a₁ + (n − 1)d, а затем использовать формулу Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2.
Что делать, если при поиске числа членов получаются два решения?
Проверь, какие решения являются натуральными числами и подходят к исходному условию. Число членов не может быть нулём, отрицательным или дробным; если подходит только одно решение, оно и является ответом.
§ 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
