"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Это число называют разностью прогрессии. По первому члену, разности и номеру можно вычислить любой член последовательности, а по нескольким известным членам — найти неизвестные. Тема пригодится для описания равномерного изменения величин и подготовит к изучению суммы членов прогрессии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Поэтому разности любых двух соседних членов одинаковы. Это условие помогает отличить прогрессию от последовательности, где числа меняются по разным правилам.
Постоянное число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают d. Для любого члена, начиная со второго, d = aₙ₊₁ − aₙ, то есть из следующего члена вычитают предыдущий. Зная разность, можно проверить последовательность или восстановить её следующий член.
Первый член прогрессии обозначают a₁, а член с номером n — aₙ. Буква n здесь означает натуральный номер: первый член имеет номер 1, второй — 2 и так далее. Эти обозначения позволяют точно указать, о каком месте последовательности и о каком её значении идёт речь.
Формула n-го члена имеет вид aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она позволяет найти значение члена по его номеру, не выписывая все предыдущие члены. Для вычисления нужны первый член, разность и номер искомого члена.
Определение прогрессии можно записать как правило aₙ₊₁ = aₙ + d. Оно говорит, что следующий член строится из уже известного: к нему прибавляют постоянное число d. Например, если d = 4, то после каждого члена идёт число на 4 больше.
Чтобы получить a₂ из a₁, разность прибавляют один раз, чтобы получить a₃ — два раза, а чтобы дойти до aₙ — n − 1 раз. Поэтому aₙ = a₁ + d + d + … + d, где разность повторяется n − 1 раз. Сокращённая запись этой суммы и даёт формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Знак разности показывает направление изменения членов. При d > 0 к каждому члену прибавляют положительное число, поэтому члены возрастают; при d < 0 прибавляется отрицательное число, поэтому члены убывают. Если d = 0, ничего не меняется, и все члены равны первому.
Неизвестные члены можно найти, составив равенства по формуле n-го члена. Например, для известных a₄ и a₉ запишем a₄ = a₁ + 3d и a₉ = a₁ + 8d. Вычитая первое равенство из второго, получаем a₉ − a₄ = 5d, откуда находится d; затем подставляем её в одно из равенств и находим a₁.
У трёх последовательных членов разности соседних равны: aₙ − aₙ₋₁ = aₙ₊₁ − aₙ. Переносим слагаемые и получаем 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁, значит, aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. Иными словами, внутренний член находится ровно посередине между соседними, поэтому равен их полусумме.
| Что рассматриваем | Формула или условие | Для чего используется |
|---|---|---|
| Определение прогрессии | Разность соседних членов постоянна | Проверить, является ли последовательность арифметической |
| Разность прогрессии | d = aₙ₊₁ − aₙ | Найти постоянное изменение между соседними членами |
| Рекуррентное правило | aₙ₊₁ = aₙ + d | Построить следующий член по предыдущему |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Вычислить член по его номеру |
| Поведение членов при разных значениях d | d > 0 — возрастают; d < 0 — убывают; d = 0 — постоянны | Определить направление изменения последовательности |
| Свойство среднего члена | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 | Найти внутренний член по двум соседним |
Сначала выберите в таблице нужную задаче строку: для проверки последовательности достаточно сравнить разности соседних членов, а для вычисления удалённого члена удобнее формула n-го члена. Если требуется продолжить последовательность по известному предыдущему члену, используйте рекуррентное правило. Следите за тем, что в формуле n-го члена n обозначает номер, а aₙ — значение.
Дана последовательность 3, 7, 11, 15, … Определим, является ли она арифметической прогрессией, и найдём её разность. Для этого сравним разности соседних известных членов. Если они совпадают, общий шаг последовательности равен этой разности.
Ответ: да, это арифметическая прогрессия; d = 4.
В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = −3. Найдём a₈. Подставим данные в формулу n-го члена, учитывая, что номер искомого члена равен 8. Отрицательная разность означает, что на каждом шаге значение уменьшается на 3.
Ответ: a₈ = −16.
Известно, что a₄ = 14 и a₉ = 34. Найдём разность и первый член. Номера членов подставим вместо n в формулу, но значения членов оставим в левой части. Так получим два равенства с неизвестными a₁ и d.
Ответ: d = 4, a₁ = 2. Проверка: a₄ = 2 + 3 · 4 = 14, а a₉ = 2 + 8 · 4 = 34.
При нахождении разности иногда вычитают следующий член из предыдущего. Но по определению d = aₙ₊₁ − aₙ, поэтому обратный порядок изменит знак. Проверьте себя: в последовательности 3, 7 разность равна 7 − 3 = 4.
В формуле n-го члена можно ошибочно написать nd вместо (n − 1)d. Так происходит, если считать номер члена числом переходов от первого. Между первым и n-м членами n − 1 переходов, поэтому для проверки подставьте n = 1: формула должна дать a₁.
Не всякая арифметическая прогрессия возрастает. Ошибка возникает, когда само слово «прогрессия» связывают только с увеличением чисел. Посмотрите на знак d: при отрицательной разности члены убывают, а при нулевой остаются равными.
Номер члена и значение этого члена — разные величины: например, у a₄ номер равен 4, а значение может быть 14. Их путают, когда номер подставляют вместо aₙ в уравнение. Проверяйте обозначения: n подставляют в формулу как номер, а слева записывают известное значение члена.
Для работы с арифметической прогрессией нужны навыки вычитания чисел, действий с целыми и рациональными числами и подстановки значений в буквенные выражения. Например, отрицательная разность требует аккуратного умножения на отрицательное число. Умение различать номер члена и его значение также помогает правильно составлять равенства.
Прогрессия описывает ситуации, где величина равномерно увеличивается или уменьшается на одну и ту же величину за каждый шаг. Например, так можно представить изменение показателя по годам, если каждый год прибавляется одинаковое число. Знание её членов становится основой для изучения суммы членов арифметической прогрессии.
Как быстро проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?
Вычтите каждый член, начиная со второго, из предыдущего: считайте разность следующего и предыдущего. Если полученные разности одинаковы, последовательность арифметическая. Для бесконечной последовательности проверяют, что правило сохраняется для всех соседних членов.
Почему в формуле n-го члена стоит n − 1, а не n?
Первый член уже известен, поэтому от него до члена с номером n нужно сделать n − 1 переходов. При каждом переходе прибавляется разность d. Например, от a₁ до a₄ — три перехода.
Может ли арифметическая прогрессия быть убывающей?
Да. Если разность d отрицательна, каждый следующий член меньше предыдущего, и прогрессия убывает. При d > 0 она возрастает, а при d = 0 все её члены равны.
Как найти разность, если известны два члена с разными номерами?
Запишите для каждого известного члена формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d и вычтите одно равенство из другого. Если известны aₘ и aₙ, где m ≠ n, то d = (aₙ − aₘ) / (n − m).
Почему средний член арифметической прогрессии равен полусумме соседних?
Разность между средним членом и предыдущим равна разности между следующим и средним. Поэтому средний член можно записать как aₙ₋₁ + d, а следующий — как aₙ₋₁ + 2d. Их полусумма равна aₙ₋₁ + d, то есть среднему члену.
§ 22. Арифметическая прогрессия
