4.3. Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Суммой n первых членов арифметической прогрессии называют результат сложения a₁ + a₂ + … + aₙ. Здесь n задаёт количество слагаемых: если n = 5, складывают ровно пять первых членов. Такая сумма нужна, когда требуется узнать общий результат последовательных накоплений или изменений, а не значение только на одном шаге. Для неё существует формула, которая заменяет длинное сложение коротким вычислением.

Сумму первых n членов кратко обозначают Sₙ. Индекс n показывает, сколько членов включено в сумму, начиная с первого. Обозначение aₙ означает только член, стоящий на n-м месте, поэтому Sₙ и aₙ — разные величины. Это различие помогает понять, требуется ли найти одно число последовательности или итог сложения нескольких чисел.

Если известны первый и последний из складываемых членов, сумму находят по формуле Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Здесь a₁ — первый член, aₙ — последний из первых n членов, а n — их количество. Полусумма крайних членов умножается на число слагаемых. Поэтому для применения формулы нужны все три величины: первый член, последний член и количество членов.

Если вместо последнего члена известна разность d, используют формулу Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2. В ней a₁ — первый член, d — постоянная разность между соседними членами, n — число слагаемых. Формула связана с общим членом aₙ = a₁ + (n − 1)d: именно так выражается последний член через первый и разность. Значит, чтобы применить эту формулу суммы, достаточно знать a₁, d и n.

Как это устроено

Сумму удобно находить, складывая члены попарно с противоположных концов. Например, первый член складывают с последним, второй — с предпоследним: a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁ и так далее. В арифметической прогрессии эти суммы равны, потому что при движении от края к середине один член увеличивается ровно настолько, насколько другой уменьшается. Например, сумма a₁ + aₙ равна сумме a₂ + aₙ₋₁.

Если число членов чётное, их можно разбить на n / 2 пар, и сумма каждой пары равна a₁ + aₙ. Тогда общая сумма равна (n / 2)(a₁ + aₙ). Если n нечётно, после образования пар посередине остаётся один член. Он равен среднему арифметическому крайних членов, поэтому его можно представить как половину суммы a₁ + aₙ. В итоге и при нечётном n получается Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2.

Чтобы получить формулу через a₁ и d, достаточно выразить последний член через эти величины. По формуле общего члена aₙ = a₁ + (n − 1)d; подставляем это выражение вместо aₙ в формулу суммы через крайние члены. Получаем Sₙ = n(a₁ + a₁ + (n − 1)d) / 2, то есть Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2. Так одна формула следует из другой, а не является отдельным правилом.

Формулу выбирают по данным условия. Если известны a₁ и aₙ, удобно сразу подставить их в Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Если дано d, но последний член не указан, быстрее воспользоваться Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2. В обоих случаях нужно также знать количество членов n; при необходимости недостающие величины сначала находят по формуле общего члена.

Для убывающей прогрессии формулы остаются такими же, потому что их вывод основан на сложении членов, а не на том, растут они или уменьшаются. Разность d в такой последовательности отрицательна, и этот знак учитывают при подстановке. Например, если следующий член на 4 меньше предыдущего, то d = −4, а не 4. Отрицательная разность уменьшает последующие члены и может привести к отрицательной сумме.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сначала определи, какие значения даны в задаче, а затем выбери подходящий столбец. Если известен последний член, не нужно отдельно выражать его через разность. Если aₙ не дан, но известны a₁ и d, используй вторую формулу.

Разбор задач

Задача 1

Найдите сумму первых 13 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 3 и a₁₃ = 27. Здесь известны оба крайних члена и количество слагаемых. Поэтому можно сразу применить формулу Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Искать разность прогрессии не требуется.

1. Записываем данные: n = 13, a₁ = 3, a₁₃ = 27.
2. Подставляем их в формулу: S₁₃ = 13(3 + 27) / 2.
3. Вычисляем: S₁₃ = 13 · 30 / 2 = 195.

Ответ: 195.

Задача 2

Найдите сумму первых 20 членов прогрессии, если a₁ = 5, d = 3. Последний член в условии не указан, зато известны первый член и разность. Значит, удобно использовать формулу суммы через a₁ и d. В ней обязательно учитываем, что до двадцатого члена проходит 19 шагов.

1. Записываем данные: n = 20, a₁ = 5, d = 3.
2. Подставляем: S₂₀ = 20(2 · 5 + (20 − 1) · 3) / 2.
3. Считаем выражение в скобках: 10 + 19 · 3 = 67.
4. Находим сумму: S₂₀ = 20 · 67 / 2 = 670.

Ответ: 670.

Задача 3

В первую неделю ученик откладывает 200 рублей, а каждую следующую неделю — на 50 рублей больше, чем в предыдущую. Нужно узнать, сколько он отложит за 12 недель. Еженедельные суммы образуют арифметическую прогрессию: постоянное увеличение означает, что разность одна и та же. Из условия получаем a₁ = 200, d = 50 и n = 12.

1. Выбираем формулу через первый член и разность, так как последний член не дан: Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2.
2. Подставляем числа: S₁₂ = 12(2 · 200 + (12 − 1) · 50) / 2.
3. Вычисляем скобки: 400 + 11 · 50 = 950.
4. Находим итог: S₁₂ = 12 · 950 / 2 = 5700 рублей.

Ответ: за 12 недель ученик отложит 5700 рублей.

Типичные ошибки

Путают Sₙ и aₙ: из-за похожих обозначений можно принять сумму за последний член. Тогда вместо итога сложения получают только одно число последовательности. Перед вычислением проверь, что требуется по условию: сумма нескольких членов или член с номером n. Если нужно сложить первые n значений, ответ обозначают Sₙ.

В формуле через a₁ и d иногда пишут n вместо n − 1, вычисляя последний член. Ошибка возникает, если считать количество членов количеством шагов между ними. Но от первого члена до второго один шаг, а от первого до n-го — n − 1 шагов. Для проверки выпиши первые члены: при n = 1 разность ещё не прибавляется, и формула должна дать a₁.

Если забыть умножить полусумму крайних членов на n, получится только среднее значение крайних членов, а не сумма прогрессии. Такая ошибка появляется, когда формулу сокращают до (a₁ + aₙ) / 2 и теряют множитель. Проверь, что в записи есть и количество слагаемых n. Например, для двух членов сумма должна быть вдвое больше их среднего.

При отрицательной разности некоторые заменяют d её модулем, чтобы получить положительное число. Так меняют направление прогрессии и считают сумму уже для другой последовательности. Подставляй d с тем знаком, который соответствует условию: если каждый следующий член меньше предыдущего, разность отрицательна. Проверка нескольких первых членов покажет, верно ли выбран знак.

Связь с другими темами

Для работы с суммой нужно знать определение арифметической прогрессии и её разность d: это число, на которое каждый член отличается от предыдущего. Также используется формула общего члена aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она позволяет найти последний член, если выбрана формула суммы через крайние члены, или сразу подставить данные в формулу через a₁ и d.

Формула суммы помогает решать текстовые задачи, где величина равномерно меняется от шага к шагу. Например, так находят общий размер накоплений при еженедельном увеличении взноса, сумму выплат или общее количество предметов. Сначала нужно определить, образуют ли данные арифметическую прогрессию, а затем задать её первый член, разность и число шагов.

Что запомнить

• Sₙ обозначает сумму первых n членов, а не n-й член.
• Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2.
• Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2.
• В формуле через d используется n − 1, потому что от первого члена до n-го — n − 1 шагов.
• Для убывающей прогрессии формулы те же; разность d отрицательна.
• Перед вычислением выбери формулу по тем данным, которые известны.