"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой при переходе от любого члена к следующему прибавляют одно и то же число. Это число называют разностью и обозначают d. Зная первый член и разность, можно найти любой член последовательности по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она помогает быстро вычислять нужные значения, не выписывая все предыдущие члены, и описывать закономерности в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число. Иначе говоря, разность любых двух соседних членов постоянна. Поэтому, чтобы проверить последовательность, достаточно сравнить разности соседних членов. Это определение позволяет отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей.
Постоянную разность соседних членов называют разностью арифметической прогрессии и обозначают d: d = aₙ₊₁ − aₙ. Здесь из следующего члена вычитают предыдущий, а не наоборот. Разность может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Зная её знак, можно судить о том, как меняются члены.
Обозначение aₙ означает член прогрессии с номером n, где n — натуральный номер члена. Например, a₄ — четвёртый член, а a₁ — первый. Индекс помогает указать, какое именно значение последовательности рассматривается. Без номера обозначения не показывали бы, к какому месту в последовательности относится число.
Формула n-го члена — выражение, которое позволяет найти aₙ по его номеру n, первому члену a₁ и разности d. Для арифметической прогрессии это формула aₙ = a₁ + (n − 1)d. Она нужна, чтобы вычислить член с любым номером, не выписывая всю последовательность от начала.
По определению следующий член получается прибавлением одной и той же разности к предыдущему: aₙ₊₁ = aₙ + d. Если перенести aₙ в левую часть, получим aₙ₊₁ − aₙ = d. Номер n может быть любым, потому что правило прогрессии требует одинакового изменения на каждом шаге. Значит, разность соседей не зависит от того, какую пару членов мы выбрали.
Чтобы получить члены по порядку, каждый раз прибавляют d. Поэтому a₂ = a₁ + d, а затем a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d. Следующий член равен a₄ = a₁ + 3d. При каждом переходе добавляется ещё одна разность, поэтому её множитель показывает, сколько переходов уже сделано.
От первого члена до члена с номером n нужно пройти n − 1 переходов: от a₁ к a₂ — один, к a₃ — два, и так далее. На каждом переходе прибавляется d, значит, суммарно прибавится (n − 1)d. Так получается формула aₙ = a₁ + (n − 1)d. При n = 1 она даёт a₁, поскольку дополнительных переходов ещё нет.
Чтобы найти конкретный член, подставь в формулу его номер, первый член и разность. Например, для восьмого члена вместо n нужно взять 8. Если неизвестен параметр, вырази его из равенства: из aₙ = a₁ + (n − 1)d следует a₁ = aₙ − (n − 1)d, а при n ≠ 1 разность можно найти так: d = (aₙ − a₁)/(n − 1). Если известен член aₖ, переход к aₙ можно записать как aₙ = aₖ + (n − k)d.
Знак d определяет направление изменения последовательности. При d > 0 к каждому члену прибавляется положительное число, поэтому следующий член больше предыдущего. При d < 0 прибавляется отрицательное число, и члены убывают. Если d = 0, прибавление ничего не меняет, значит, все члены равны первому.
| Что рассматривается | Характеристика или формула |
|---|---|
| Определение | Разность любых двух соседних членов постоянна. |
| Разность соседних членов | d = aₙ₊₁ − aₙ |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| Нахождение разности по двум соседним членам | d = следующий член − предыдущий член |
| Изменение членов при d > 0, d < 0 и d = 0 | Возрастает; убывает; все члены равны соответственно. |
Сначала проверь, что разности соседних членов одинаковы, а затем выбери формулу под условие задачи. В выражении для d соблюдай порядок: следующий член минус предыдущий. При поиске члена по формуле n-го члена не забудь определить число переходов.
Условие. Дана последовательность 4, 7, 10, 13, … . Определить, является ли она арифметической прогрессией, и найти её разность. Чтобы проверить правило, сравним изменения между соседними числами. Если они совпадут, последовательность подходит под определение.
Ответ: последовательность является арифметической прогрессией, d = 3.
Условие. В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = −3. Найти a₈. От первого члена до восьмого нужно сделать семь переходов. На каждом переходе прибавляется −3, поэтому восьмой член должен оказаться меньше первого.
Ответ: a₈ = −16.
Условие. В арифметической прогрессии a₄ = 11, a₉ = 31. Найти d, a₁ и a₁₅. Между четвёртым и девятым членами пять переходов, поэтому разность между значениями этих членов состоит из пяти одинаковых шагов. Сначала найдём шаг, затем восстановим начало последовательности.
Ответ: d = 4, a₁ = −1, a₁₅ = 55.
Подставляют n вместо n − 1 в формулу и получают лишний шаг. Это происходит, если считают номер члена количеством переходов от первого. Проверь себя на n = 1: формула должна дать a₁, а выражение (n − 1)d при этом равно нулю.
Иногда разность считают в обратном порядке: d = aₙ − aₙ₊₁. Так знак меняется, потому что по определению из следующего члена вычитают предыдущий. Перед вычислением подпиши оба числа или проверь, что при переходе от aₙ к aₙ₊₁ выполняется aₙ₊₁ = aₙ + d.
При убывающей прогрессии могут записать d положительной, ориентируясь только на величину изменения. Ошибка возникает, если не учитывать направление: следующий член меньше предыдущего. Вычисли соседнюю разность именно в заданном порядке; отрицательный результат и будет верным значением d.
Если известен aₖ, число переходов до aₙ равно n − k, а не n − 1. Эти выражения относятся к разным точкам отсчёта, поэтому нельзя механически подставлять любое из них. Проверь формулу подсчётом: между четвертым и девятым членами пять переходов, и коэффициент при d должен быть 5.
Для работы с прогрессией нужны умения находить разность чисел и подставлять значения переменных в буквенное выражение. Эти действия помогают правильно вычислять d и применять формулу n-го члена. Особенно полезно следить за знаками при вычитании и умножении на отрицательное число.
Понятие последовательности и обозначение её членов с помощью индекса объясняют, что означают a₁ и aₙ. Индекс указывает место числа в упорядоченном наборе, а не операцию над ним. Поэтому прежде чем считать, нужно определить номер требуемого члена.
Формула n-го члена станет основой для изучения суммы членов арифметической прогрессии. Она также помогает описывать закономерности и строить математические модели задач, где величина равномерно меняется с каждым шагом.
Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?
Вычти каждый член, кроме первого, из следующего: вычисли a₂ − a₁, a₃ − a₂ и так далее. Если все разности одинаковы, последовательность арифметическая; если хотя бы одна отличается — нет.
Почему в формуле n-го члена стоит n − 1, а не n?
Первый член уже известен, поэтому переходить от него к нему самому не нужно. До члена с номером n ровно n − 1 переходов, и на каждом прибавляется d.
Как найти разность, если известны два соседних члена?
Из следующего члена вычти предыдущий: d = aₙ₊₁ − aₙ. Например, если соседние члены равны 8 и 5, то d = 5 − 8 = −3.
Может ли арифметическая прогрессия быть убывающей?
Да. Если d < 0, при каждом переходе к следующему члену прибавляется отрицательное число, поэтому значения уменьшаются.
Как найти первый член, если известны один из последующих членов и разность?
Вырази a₁ из формулы aₙ = a₁ + (n − 1)d: a₁ = aₙ − (n − 1)d. Подставь известный член, его номер и разность, соблюдая знаки.
4.2. Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии
