26. Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Сумма n первых членов арифметической прогрессии — это сумма a₁ + a₂ + ... + a_n. В неё входят первый член и все последующие до члена с номером n включительно. Такая величина позволяет заменить длинное сложение одной формулой.

Эту сумму обозначают S_n. Индекс n показывает, сколько членов складывают, а не значение последнего члена. Поэтому S₅ означает сумму пяти первых членов, а S₂₀ — сумму двадцати.

Основная формула имеет вид S_n = (a₁ + a_n)n/2. Здесь a₁ — первый член, a_n — последний из складываемых членов, n — их количество. Зная эти три величины, сумму можно найти сразу.

Число (a₁ + a_n)/2 — среднее арифметическое первого и последнего членов. В арифметической прогрессии оно равно среднему значению всех членов, поэтому сумма получается умножением этого среднего на число членов. Именно так формула приобретает понятный смысл.

Как это устроено

Первые n членов записываются так: S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n. При небольшом n их можно сложить обычным способом, но при двадцати, ста или тысяче членов это занимает много времени и повышает риск ошибки. Формула нужна, чтобы использовать только несколько известных величин.

Запишем ту же сумму в обратном порядке: S_n = a_n + a_n−1 + ... + a₁. При сложении соответствующих членов первая запись соединяется со второй: a₁ + a_n, a₂ + a_n−1 и так далее. В арифметической прогрессии эти пары равны, потому что удалённость членов от краёв одинакова.

Если сложить две записи суммы, получится 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n−1) + ... . Таких одинаковых пар ровно n, значит, 2S_n = (a₁ + a_n)n. Деление на 2 даёт формулу S_n = (a₁ + a_n)n/2.

При нечётном количестве членов один член оказывается центральным и при попарном объединении не имеет отдельного партнёра. Но в удвоенной сумме он появляется дважды: как центральный член в первой и обратной записях. Поэтому рассуждение и формула остаются верными для любого натурального n.

Если a_n неизвестен, сначала используют формулу n-го члена: a_n = a₁ + d(n − 1). Подстановка в основную формулу даёт S_n = (2a₁ + d(n − 1))n/2. Формулу выбирают по данным условия: при известных a₁, a_n и n сразу применяют первую, а при известных a₁, d и n — вторую.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сначала выпишите все данные и отдельно определите количество членов. Если известен последний член, удобнее использовать первую формулу, а если известны разность и первый член — вторую.

Третья запись помогает понять смысл суммы и проверить вычисления: частное S_n/n должно совпадать со средним арифметическим крайних членов.

Разбор задач

1. Сумма первых 20 членов

Дано: a₁ = 3, d = 4, n = 20. Последний член не указан, поэтому сначала найдём его, а затем применим формулу суммы через первый и последний члены.

1. Вычислим a₂₀: a₂₀ = 3 + 4(20 − 1) = 3 + 76 = 79.
2. Найдём сумму: S₂₀ = (3 + 79) · 20/2 = 82 · 10 = 820.

Ответ: 820.

2. Сумма членов от 7 до 103

Последовательность 7; 11; 15; ... является арифметической, потому что разность соседних членов равна 4. Нужно определить, под каким номером стоит 103, ведь именно это число задаёт количество складываемых членов.

1. Находим разность: d = 11 − 7 = 4.
2. Используем формулу n-го члена: 103 = 7 + 4(n − 1). Тогда 96 = 4(n − 1), n − 1 = 24, n = 25.
3. Складываем первый и последний члены: S₂₅ = (7 + 103) · 25/2 = 110 · 12,5 = 1375.

Ответ: 1375.

3. Места в театре

Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = 2, n = 18. Требуется сумма мест во всех рядах, поэтому сначала найдём число мест в последнем ряду.

1. a₁₈ = 12 + 2(18 − 1) = 12 + 34 = 46.
2. S₁₈ = (12 + 46) · 18/2 = 58 · 9 = 522.

Ответ: в зале 522 места.

Типичные ошибки

Используют формулу суммы, не найдя n. Из-за этого неизвестно, сколько членов нужно сложить, даже если первый и последний известны. Проверьте, что индекс суммы совпадает с количеством членов условия.

Путают a_n, d и n: последний член является числом последовательности, d — постоянной разностью, а n — номером члена. Такая ошибка часто появляется при подстановке в формулу. Подпишите рядом с каждым данным его обозначение.

Забывают множитель n/2 и получают только среднее арифметическое крайних членов. Среднее показывает значение одного условного среднего члена, а не сумму всего ряда. После нахождения среднего умножьте его на количество членов.

Неверно находят n или последний член, особенно если a₁ и d имеют разные знаки. Проверяйте результат подстановкой в a_n = a₁ + d(n − 1) и учитывайте направление изменения последовательности.

Связь с другими темами

Для суммы часто требуется формула n-го члена: a_n = a₁ + d(n − 1). Поэтому перед решением нужно уметь находить неизвестный член и определять разность прогрессии.

Вычисления опираются на действия с дробями, раскрытие скобок и преобразование буквенных выражений. Эти навыки помогают без ошибок перейти от одной формулы суммы к другой.

Формула применяется в задачах о последовательных платежах, рядах предметов, местах в зрительном зале и других величинах, которые изменяются на постоянную разность. Сначала реальную ситуацию переводят в арифметическую прогрессию.

Что запомнить

• S_n — сумма первых n членов арифметической прогрессии.
• Основная формула: S_n = (a₁ + a_n)n/2.
• Сумма равна произведению числа членов на среднее арифметическое первого и последнего членов.
• Если последний член неизвестен, его находят по формуле a_n = a₁ + d(n − 1).
• При известных a₁, d и n используют формулу S_n = (2a₁ + d(n − 1))n/2.
• Перед применением формулы нужно установить, что последовательность является арифметической прогрессией.