25. Арифметическая прогрессия

Определения и обозначения

Числовая последовательность — упорядоченный набор чисел, у каждого из которых есть свой номер; её члены обозначают a₁, a₂, …, aₙ. Например, a₁ — первый член, а aₙ — член с номером n. Такая запись помогает не путать число с его местом в последовательности. По ней удобно формулировать правила и находить нужный член.

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Например, если к каждому члену прибавлять 3, получится 2, 5, 8, 11, … . Постоянное правило перехода позволяет продолжать последовательность и определять её члены. Для этого достаточно знать первый член и число, которое прибавляют.

Разность арифметической прогрессии обозначают d и находят вычитанием предыдущего члена из следующего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Она одна и та же для любой пары соседних членов. Разность может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Зная d, можно перейти от любого члена к следующему или проверить, подходит ли последовательность под определение прогрессии.

Формула n-го члена позволяет найти член с номером n по первому члену и разности: aₙ = a₁ + (n − 1)d. В ней n — номер искомого члена, а n − 1 — количество шагов от первого члена до него. Формула заменяет последовательное выписывание всех членов. Она особенно полезна, когда номер большой.

Как это устроено

Постоянство разности означает, что правило перехода между соседними членами не меняется. Если известны a₁ и d, то второй член равен a₁ + d, третий — a₁ + d + d, а каждый следующий получается таким же прибавлением. Поэтому все члены можно восстановить, не зная их заранее. Если разность хотя бы в одной паре отличается, это правило уже не выполняется и последовательность не является арифметической прогрессией.

Формула n-го члена следует из повторения одного и того же шага. Чтобы от a₁ дойти до a₂, разность прибавляют один раз; до a₃ — два раза; до aₙ — n − 1 раз. Значит, к первому члену прибавляется (n − 1)d, и получается aₙ = a₁ + (n − 1)d. Число прибавлений на единицу меньше номера, потому что сам первый член уже дан.

Знак разности показывает, как меняется последовательность. При d > 0 к каждому члену прибавляется положительное число, поэтому следующий член больше предыдущего и члены возрастают. При d < 0 прибавляется отрицательное число, то есть каждый переход уменьшает значение. Если d = 0, прибавление ничего не меняет, и все члены равны первому.

Сумму первых n членов можно представить как пары, составленные с концов: первый с последним, второй с предпоследним и так далее. Сумма в каждой такой паре равна a₁ + aₙ, потому что члены прогрессии равноудалены от начала и конца. Поэтому среднее значение пары равно (a₁ + aₙ)/2, а сумма n членов — этому среднему, умноженному на n: Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2. Такой способ работает и при нечётном количестве членов: средний член можно считать парой из двух одинаковых половин.

Иногда последний член отдельно не известен, зато даны первый член и разность. Тогда в формулу суммы подставляют aₙ = a₁ + (n − 1)d. После раскрытия скобок получается Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2. Эта запись позволяет сразу найти сумму по трём данным: a₁, d и n. Если же aₙ уже известно или его легко найти, удобнее воспользоваться формулой через первый и последний члены.

Основные сведения об арифметической прогрессии

Сначала определи, какие данные есть в задаче, и выбери формулу, в которой они используются. Для проверки прогрессии сравнивают разности всех соседних членов, а для поиска отдельного члена применяют формулу aₙ. При вычислении суммы выбирают запись через aₙ или через d в зависимости от того, какая информация известна.

Разбор задач

Проверка последовательности

Проверим, является ли последовательность 4, 1, −2, −5 арифметической, и найдём её разность. Недостаточно заметить, что числа убывают: убывание само по себе не гарантирует одинакового шага. Нужно вычесть каждый член из следующего и проверить все пары. Если разности совпадут, это будет постоянное d.

1. Для первой пары находим 1 − 4 = −3.
2. Для второй пары находим −2 − 1 = −3, а для третьей: −5 − (−2) = −3.
3. Все разности одинаковы, значит, последовательность является арифметической, а её разность d = −3.

Вычитание выполняли в одном порядке: следующий член минус предыдущий. Отрицательный результат согласуется с тем, что числа убывают. Если бы хотя бы одна разность отличалась от остальных, последовательность не была бы арифметической.

Поиск члена прогрессии

Дано: a₁ = 7 и d = −3; требуется найти a₁₂. Так как известны первый член и постоянная разность, используем формулу n-го члена. Отрицательный знак означает, что на каждом шаге значение уменьшается на 3. Важно подставить номер 12 вместо n и не потерять минус перед разностью.

1. Записываем формулу: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
2. Подставляем данные: a₁₂ = 7 + (12 − 1) · (−3).
3. Считаем: a₁₂ = 7 + 11 · (−3) = 7 − 33 = −26.

Ответ: a₁₂ = −26. От первого члена до двенадцатого нужно сделать 11 переходов, поэтому разность умножается на 11. Результат меньше первого члена, что соответствует отрицательной разности.

Сумма первых членов

В прогрессии a₁ = 5, d = 4 нужно найти сумму первых 20 членов. Можно сразу взять формулу суммы через a₁ и d, но полезно сначала найти последний член, чтобы увидеть, откуда берутся слагаемые. Поскольку разность положительна, значения прогрессии возрастают. В результате сумма крайних членов умножается на количество членов и делится на два.

1. Находим двадцатый член: a₂₀ = 5 + (20 − 1) · 4 = 5 + 76 = 81.
2. Подставляем первый и последний члены в формулу суммы: S₂₀ = (a₁ + a₂₀) · 20/2.
3. Вычисляем: S₂₀ = (5 + 81) · 10 = 86 · 10 = 860.

Ответ: S₂₀ = 860. Здесь среднее первого и последнего членов равно 43, а таких членов в сумме 20, поэтому 43 · 20 = 860. Перед вычислением суммы удобно проверить, что найденный последний член получен с 19 прибавлениями разности.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить d на n при поиске aₙ. Её допускают, когда номер члена принимают за число переходов от первого члена; на самом деле переходов n − 1. Для проверки подставь n = 1: формула должна дать a₁, а не a₁ + d.

Вторая ошибка — поменять порядок вычитания и вычислить d как предыдущий член минус следующий. Из-за этого знак разности меняется, хотя определение задаёт d = aₙ₊₁ − aₙ. Запиши рядом пару соседних членов и вычитай именно следующий минус предыдущий; при убывании результат должен быть отрицательным.

Третья ошибка — проверить только несколько разностей и на этом объявить последовательность арифметической. Первые пары могут случайно дать одинаковый результат, а дальше правило нарушится. Проверь разности для всех соседних членов, которые даны в условии; постоянство должно выполняться на каждом шаге.

Четвёртая ошибка — забыть в формуле суммы множитель n или деление на 2. Так теряется либо количество слагаемых, либо переход от суммы крайних членов к их среднему. Проверь формулу на простом случае n = 1: она должна вернуть сумму, равную a₁.

Связь с другими темами

Для работы с прогрессией нужны навыки вычитания, включая действия с отрицательными числами, и подстановки значений в формулы. Например, при d = −3 выражение −2 − (−3) требует помнить правила знаков. Эти действия помогают правильно находить разность и члены последовательности.

Арифметическая прогрессия связана с линейной зависимостью: aₙ = a₁ + (n − 1)d выражает значение члена через его номер. При каждом увеличении номера на единицу значение меняется на постоянную величину d. Поэтому формула удобна для описания равномерного изменения.

Формулы прогрессии применяют в задачах, где величина последовательно увеличивается или уменьшается на одно и то же число, например при равных прибавках. Они также служат опорой при изучении геометрической прогрессии, где постоянным является не прибавляемое число, а отношение соседних членов. Сравнение этих правил помогает не путать два вида последовательностей.

Что запомнить

• В арифметической прогрессии разность любых двух соседних членов постоянна.
• Разность d находят как следующий член минус предыдущий.
• aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Знак разности определяет направление изменения членов прогрессии.
• Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2.
• Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2.