"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают q. Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член последовательности, определить, как меняются его знак и модуль, а также вычислить сумму первых n членов. Эти правила помогают описывать повторяющееся умножение, например изменение величины на постоянный процент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число. Если член с номером n обозначить bₙ, это правило записывают так: bₙ₊₁ = bₙq. Здесь q — постоянное число, а n показывает номер текущего члена. Такое определение позволяет понять, по какому правилу строится вся последовательность.
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии: именно на него умножают предыдущий член, чтобы получить следующий. Если предыдущий член не равен нулю, знаменатель можно найти делением: q = bₙ₊₁ / bₙ. Например, если соседние члены равны 6 и 18, то q = 18 / 6 = 3. Это помогает проверить, является ли заданная последовательность геометрической.
Член последовательности с номером n называют n-м членом и обозначают bₙ. Например, b₁ — первый член, b₂ — второй, а b₅ — пятый. Индекс указывает порядок числа, а не действие с ним. Это обозначение нужно, чтобы записывать формулы для любого члена, не перечисляя всю последовательность.
Сумма первых n членов — результат сложения b₁ + b₂ + … + bₙ. Её обозначают Sₙ, где индекс n сообщает, сколько членов складывают. Например, S₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄. Это обозначение удобно, когда требуется найти итог для многих слагаемых сразу.
Из определения следует, что следующий член равен предыдущему, умноженному на q: bₙ₊₁ = bₙq. Если bₙ не равен нулю, обе части можно разделить на bₙ и получить bₙ₊₁ / bₙ = q. Поэтому отношение любой пары соседних членов одинаково: в каждом переходе действует одно и то же правило умножения. Так можно проверять последовательность, сравнивая отношения соседних членов.
Формула n-го члена получается, если последовательно применять правило прогрессии: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q², b₄ = b₁q³. Для перехода от первого члена к члену с номером n нужно умножить на q ровно n − 1 раз, поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Показатель начинается с нуля: для b₁ формула даёт b₁q⁰ = b₁. Эта формула позволяет находить дальние члены без вычисления всех предыдущих.
Чтобы найти член по формуле, подставьте вместо b₁, q и n известные значения, соблюдая порядок действий. Например, для b₁ = 5, q = 2 и n = 4 получаем b₄ = 5 · 2³ = 40. Если нужно проверить, входит ли заданное число в прогрессию, подставьте предполагаемый номер и сравните результат с этим числом. Если номер неизвестен, можно составить уравнение b₁qⁿ⁻¹, приравняв выражение к заданному числу.
Сумму при q ≠ 1 можно получить, обозначив Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ и умножив обе части на q. Тогда qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. При вычитании исходной суммы почти все слагаемые сокращаются: qSₙ − Sₙ = bₙ₊₁ − b₁, откуда Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Если q = 1, знаменатель формулы равен нулю, а все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁.
Знак членов определяется первым членом и знаменателем. При положительном q знак ненулевых членов сохраняется, а при отрицательном каждый переход меняет знак, поэтому знаки чередуются. Модуль q показывает, как меняются абсолютные величины: при |q| > 1 они увеличиваются, а при 0 < |q| < 1 уменьшаются. Если |q| = 1, модули не меняются, хотя при q = −1 знаки чередуются.
Таблица помогает выбрать нужное правило по условию задачи: например, найти следующий член, отдельный член или сумму. Сначала определите, какие величины известны и что требуется вычислить. Затем проверьте, не равен ли знаменатель единице: от этого зависит формула суммы.
| Что рассматриваем | Обозначение или условие | Формула или вывод |
|---|---|---|
| Определение | Постоянное отношение соседних членов | bₙ₊₁ = bₙq |
| Знаменатель | bₙ ≠ 0 | q = bₙ₊₁ / bₙ |
| n-й член | b₁ — первый член, n — номер | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ |
| Сумма первых n членов при q ≠ 1 | q ≠ 1 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) |
| Сумма первых n членов при q = 1 | q = 1 | Sₙ = nb₁ |
| Чередование знаков при отрицательном знаменателе | q < 0 | Знаки ненулевых членов чередуются |
Дана прогрессия 3, 12, 48, … . Найдите её знаменатель и следующие два члена. Чтобы перейти от одного члена к следующему, каждый раз используют одно и то же умножение. Поэтому сначала найдём отношение второй величины к первой, а затем продолжим последовательность.
Ответ: q = 4; следующие члены — 192 и 768.
В геометрической прогрессии b₁ = 5 и q = −2. Найдите b₆ и определите его знак. Удобно применить формулу n-го члена: она сразу учитывает все переходы от первого члена к шестому. Затем отдельно проверим знак результата по чётности показателя.
Ответ: b₆ = −160, знак отрицательный.
Найдите сумму первых шести членов прогрессии, если b₁ = 2 и q = 3. Здесь известны первый член и знаменатель, а число слагаемых равно шести. Поскольку q не равен единице, можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.
Ответ: 728.
Записывают bₙ = b₁qⁿ вместо b₁qⁿ⁻¹, потому что считают умножения от нулевого члена. Но первый член уже задан, его не нужно умножать на q. Проверьте формулу при n = 1: она должна дать b₁.
Путают знаменатель геометрической прогрессии с разностью арифметической и вычитают соседние члены. Это происходит, если не различать правила двух последовательностей. Проверьте себя делением: отношения соседних членов должны совпадать, а не разности.
Применяют формулу суммы с делением на q − 1 при q = 1. В таком случае делитель равен нулю, поэтому формула неприменима. Сначала проверьте значение q, а при q = 1 используйте Sₙ = nb₁.
Подставляют в числитель q − 1 вместо qⁿ − 1 или теряют скобки. Ошибка возникает при невнимательной записи степени и разности. Перед вычислением перепишите формулу целиком: сначала найдите qⁿ, затем вычтите 1 и разделите всю эту разность на q − 1.
Для вычислений с геометрической прогрессией нужны навыки работы со степенями, деления чисел и подстановки значений в формулы. Сама прогрессия относится к числовым последовательностям, а её удобно сравнивать с арифметической: там каждый раз прибавляют постоянную разность, здесь умножают на знаменатель. Формулы обеих прогрессий помогают решать задачи на последовательности и суммы. Геометрическая прогрессия также описывает повторяющееся умножение, например изменение величины на постоянный процент.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
В арифметической прогрессии к предыдущему члену прибавляют одно и то же число — разность. В геометрической каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на постоянное число q.
Почему в формуле n-го члена показатель степени равен n − 1?
От первого члена до n-го нужно выполнить n − 1 переходов. При каждом переходе умножают на q, поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Например, чтобы получить b₄, умножают b₁ на q три раза.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии?
Разделите любой член, начиная со второго, на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Делить можно, если предыдущий член не равен нулю. Для проверки вычислите отношение другой пары соседних членов.
Что делать, если знаменатель равен единице?
Если q = 1, все члены прогрессии равны первому члену. Поэтому сумму первых n членов находят умножением b₁ на n: Sₙ = nb₁. Формулу с делением на q − 1 применять нельзя.
Как понять, будут ли члены прогрессии положительными или отрицательными?
Если q положителен, знак ненулевых членов не меняется и зависит от b₁. Если q отрицателен, знак при каждом умножении меняется, поэтому члены чередуются по знаку. Нулевой первый член даёт только нулевые члены.
27. Геометрическая прогрессия
