28. Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Суммой n первых членов геометрической прогрессии называют число, полученное сложением её первых n членов: b₁ + b₂ + … + bₙ. Эту сумму обозначают Sₙ, то есть Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. Такая запись нужна, чтобы коротко обозначить длинное сложение и получить способ вычислять его без перебора каждого слагаемого. Число n показывает, сколько именно первых членов вошло в сумму.

В обозначениях b₁ — первый член прогрессии, а q — её знаменатель: число, на которое умножают один член, чтобы получить следующий. Например, b₂ = b₁q, а b₃ = b₂q. Зная b₁ и q, можно последовательно восстановить все члены и понять, какие числа требуется складывать. Поэтому при работе с формулой важно не путать начальное значение b₁ и множитель q.

Сумма n первых членов относится к конечному количеству слагаемых: n — натуральное число, и сложение заканчивается на bₙ. Сумма бесконечной геометрической прогрессии — отдельное понятие, которое рассматривают при специальных условиях на q. В этой теме речь идёт о конечной сумме Sₙ, поэтому формула применяется к заданному числу членов. Она работает и тогда, когда q больше единицы, и тогда, когда члены убывают или меняют знак.

Как это устроено

Запишем сумму в обычном порядке: Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. Умножение обеих частей на q увеличивает каждый член в q раз, поэтому qSₙ = b₁q + b₂q + … + bₙq. По правилу геометрической прогрессии b₁q = b₂, а bₙq = bₙ₊₁, значит, qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. Умножение удобно тем, что две записи оказываются почти одинаковыми и их можно вычесть друг из друга.

Вычтем из равенства Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ равенство qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. Члены b₂, b₃ и все следующие до bₙ стоят в обеих строках и при вычитании дают ноль. Остаётся Sₙ − qSₙ = b₁ − bₙ₊₁, то есть (1 − q)Sₙ = b₁ − bₙ₊₁. Промежуточные слагаемые сокращаются именно потому, что после умножения на q каждый из них сдвигается на одну позицию.

Если q ≠ 1, можно разделить обе части равенства на 1 − q. Получаем Sₙ = (b₁ − bₙ₊₁)/(1 − q). Член bₙ₊₁ связан с первым формулой bₙ₊₁ = b₁qⁿ: от b₁ до него нужно выполнить n умножений на q. Подстановка этой связи даёт Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), а после одновременной смены знаков в числителе и знаменателе — Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

Обе полученные записи равносильны, потому что при умножении числителя и знаменателя дроби на −1 её значение не меняется. Форма с qⁿ − 1 сверху удобна, когда знаменатель q − 1 легко вычислить; запись с 1 − q часто проще при дробном q или отрицательном знаменателе. Выбирать можно любую, но числитель и знаменатель при переходе между ними меняют знаки одновременно. Так формулы дают один и тот же результат, а не две разные суммы.

При q = 1 вывод с делением не подходит: после вычитания получилось бы деление на ноль, а исходное равенство не позволяет так поступить. По определению прогрессии при q = 1 каждый член равен предыдущему, значит, все n слагаемых равны b₁. Поэтому Sₙ = b₁ + b₁ + … + b₁ = nb₁. Это отдельный случай, который проверяют до подстановки в формулу для q ≠ 1.

Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

Сначала найдите строку, соответствующую значению q: при q = 1 используется отдельная формула, в остальных случаях — одна из двух равносильных форм. Затем подставьте первый член и число слагаемых, не забывая вычислить степень qⁿ. Последняя строка помогает понять, откуда в формуле суммы берётся эта степень.

Разбор задач

Задача 1

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₁ = 3 и q = 2. Нужно определить число слагаемых: здесь n = 5. Так как q не равен единице, подходит формула Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Подстановка позволяет сразу найти сумму, не складывая члены по очереди.

1. Запишем формулу и подставим данные: S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1).
2. Вычислим степень: 2⁵ = 32, поэтому S₅ = 3(32 − 1)/1.
3. Вычислим остаток: S₅ = 3 · 31 = 93. Деление на 1 не меняет результат.

Ответ: 93. Проверка сложением тоже возможна: первые члены равны 3, 6, 12, 24 и 48. Их сумма составляет 93, значит, применение формулы дало верный результат.

Задача 2

Найдите сумму четырёх первых членов прогрессии, если b₁ = 5 и q = ½. Здесь n = 4, а дробный знаменатель делает удобной запись с 1 − q в знаменателе. Поскольку ½ не равно единице, можно использовать формулу Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). После вычисления отдельно проверим ответ сложением членов.

1. Подставим значения: S₄ = 5(1 − (½)⁴)/(1 − ½).
2. Вычислим степень и разность: (½)⁴ = 1/16, поэтому 1 − 1/16 = 15/16, а 1 − ½ = ½.
3. Разделим: S₄ = 5 · (15/16)/(½) = 5 · 15/8 = 75/8.

Ответ: 75/8, или 9⅜. Первые четыре члена равны 5, 5/2, 5/4 и 5/8. Их сумма равна 40/8 + 20/8 + 10/8 + 5/8 = 75/8, так что проверка подтверждает вычисление.

Задача 3

В геометрической прогрессии b₁ = 4, q = 3. Найдите число первых членов n, если Sₙ = 484. Здесь неизвестно число слагаемых, поэтому сначала составим уравнение по формуле суммы. Так как q ≠ 1, получим 484 = 4(3ⁿ − 1)/(3 − 1). Затем упростим равенство и выразим степень 3ⁿ.

1. Подставим данные: 484 = 4(3ⁿ − 1)/2, то есть 484 = 2(3ⁿ − 1).
2. Разделим обе части на 2: 242 = 3ⁿ − 1. Прибавим 1 к обеим частям и получим 3ⁿ = 243.
3. Представим 243 как степень тройки: 243 = 3⁵. Значит, 3ⁿ = 3⁵ и n = 5.

Ответ: n = 5. Проверим результат по формуле: S₅ = 4(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 4 · 242/2 = 484. Полученное значение суммы совпадает с условием, поэтому число членов найдено верно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить q = 1 в формулу, где есть деление на q − 1. Так делают, если забывают проверить знаменатель прогрессии перед вычислениями, но тогда получается деление на ноль. Для самопроверки сравните q с единицей: если они равны, используйте Sₙ = nb₁. Например, при b₁ = 4 и n = 3 сумма равна 12.

Вторая ошибка — спутать число слагаемых n и степень в формуле или поставить qⁿ⁻¹. Член bₙ действительно содержит степень qⁿ⁻¹, но при выводе суммы появляется ещё bₙ₊₁, а он равен b₁qⁿ. Проверяйте, какой именно член используется в равенстве после умножения суммы на q. Для n = 1 формула должна давать только b₁; эта проверка помогает обнаружить ошибку в показателе.

Третья ошибка — изменить знак только в числителе или только в знаменателе при переходе между двумя формами. Её допускают, замечая противоположные выражения, но забывая, что значение дроби сохраняется лишь при одновременной смене знаков сверху и снизу. Проверьте, что (qⁿ − 1)/(q − 1) и (1 − qⁿ)/(1 − q) отличаются умножением числителя и знаменателя на −1. Если знак поменялся только в одной части, результат будет противоположным.

Четвёртая ошибка — принять b₁ за q или наоборот. Обозначения стоят рядом в формуле, поэтому перед подстановкой легко перепутать начальный член и множитель прогрессии. Запишите отдельно данные: b₁ — значение первого члена, q — число, на которое умножают каждый член. Затем проверьте начало последовательности: b₂ должно равняться b₁q.

Связь с другими темами

Для применения формулы нужно знать определение геометрической прогрессии, её первый член и знаменатель, а также формулу общего члена bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Сумма продолжает эту тему: вместо одного члена она позволяет найти общий результат сложения нескольких членов. Формула пригодится и в обратных задачах, когда по сумме требуется определить число слагаемых. В прикладных ситуациях она описывает повторяющееся умножение на постоянный коэффициент, например изменение величины на один и тот же множитель за каждый шаг.

Что запомнить

• Sₙ — сумма n первых членов геометрической прогрессии.
• При q ≠ 1: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
• Равносильная форма: Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
• При q = 1: Sₙ = nb₁.
• В формуле сумма зависит от первого члена, знаменателя и числа слагаемых.
• Перед подстановкой проверьте, равен ли знаменатель прогрессии единице.