29. Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы

Определения и обозначения

Предел последовательности — число A, к которому члены aₙ при достаточно больших номерах n становятся сколь угодно близкими. Это записывают так: lim aₙ = A. Иными словами, можно потребовать от членов любой точности приближения к A, и начиная с некоторого номера они её обеспечат. Предел нужен, чтобы описывать поведение последовательности «в конце», когда номера растут.

Сходящаяся последовательность — последовательность, у которой есть предел. Её члены приближаются к этому числу по мере увеличения номера, хотя не обязаны когда-либо стать ему равными. Это название помогает отличить последовательности с устойчивым приближением к одному числу от тех, члены которых не имеют такого общего направления.

Бесконечная геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Первый член обозначают b₁, а q называют знаменателем прогрессии. По этим двум числам можно записать любой член и исследовать, как ведёт себя прогрессия.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1 — предел сумм её первых n членов. Если этот предел существует, сумму обозначают S; формула для неё: S = b₁/(1 − q). Такое определение связывает бесконечное сложение с уже знакомыми конечными суммами и показывает, при каком условии можно получить конкретное число.

Как это устроено

Приближение к пределу не требует, чтобы члены последовательности уменьшались при каждом шаге: главное, чтобы со временем они попадали всё ближе к одному числу. Например, у последовательности 1/n члены положительные и убывают, поэтому их удобно сравнивать с расстоянием до нуля. У постоянной последовательности aₙ = c каждый член уже равен c, так что её предел — c. Эти примеры показывают, что к пределу можно приближаться или совпадать с ним сразу.

Почему предел последовательности 1/n равен нулю? Возьмём любое положительное число ε, каким бы маленьким оно ни было, и выберем целое n больше 1/ε. Для всех последующих номеров знаменатель будет ещё больше, поэтому 1/n < ε. Значит, члены можно сделать меньше любой заданной положительной величины, а это и означает приближение к нулю. Ноль при этом не обязан быть членом последовательности.

Чтобы связать геометрическую прогрессию с бесконечной суммой, сначала складывают не бесконечное число слагаемых, а только первые n. Обозначим эту сумму через Sₙ: для прогрессии b₁, b₁q, b₁q², … она равна b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹. Умножив сумму на q и вычтя полученное равенство из исходного, сокращаем промежуточные слагаемые и получаем Sₙ(1 − q) = b₁(1 − qⁿ). Поэтому при q ≠ 1 имеем Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q).

Если |q| < 1, последовательные степени qⁿ становятся всё ближе к нулю. При положительном q они убывают к нулю, а при отрицательном знак чередуется, но модуль |qⁿ| = |q|ⁿ всё равно уменьшается. Значит, в формуле Sₙ исчезающая часть qⁿ даёт всё меньшую поправку, и частичные суммы приближаются к одному числу. Именно поэтому знак q может меняться, но условие проверяют по его модулю.

Теперь в формуле частичной суммы можно перейти к пределу: Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), а при |q| < 1 величина qⁿ стремится к нулю. Тогда Sₙ стремится к b₁/(1 − q), и это число называют суммой бесконечной прогрессии. Условие |q| < 1 необходимо для такого вывода: если оно не выполнено, степени qⁿ не стремятся к нулю, а частичные суммы не обязаны сходиться. Поэтому одной подстановки в формулу недостаточно — сначала проверяют условие.

Бесконечная геометрическая прогрессия при |q| < 1

Сначала по первому члену и отношению соседних членов находят b₁ и q, затем проверяют условие |q| < 1. После этого можно воспользоваться формулой суммы. Важно не заменять q на |q| в самой формуле: модуль нужен только для проверки условия.

Разбор задач

Задача 1. Найти предел последовательности aₙ = 1/n. Нужно показать не только то, что несколько первых членов малы, но и что они в конце концов окажутся меньше любого заранее выбранного положительного числа. Для этого сравним номер n с обратной величиной. Тогда результат будет верен для всех номеров, начиная с выбранного.

1. Пусть ε > 0 — любое положительное число, с которым сравниваем члены последовательности.
2. Выберем номер n так, чтобы n > 1/ε. Тогда 1/n < ε; для всех ещё больших номеров неравенство тоже сохранится.
3. Значит, члены становятся сколь угодно близкими к нулю, поэтому lim 1/n = 0.

Ответ: предел равен 0.

Задача 2. Найти сумму прогрессии 12; 6; 3; … Здесь важно прежде всего определить знаменатель и убедиться, что бесконечная сумма существует по нужной формуле. Каждый член в два раза меньше предыдущего. Это позволяет применить формулу для суммы после проверки условия.

1. Первый член b₁ = 12, а знаменатель q = 6/12 = 1/2.
2. Проверяем: |q| = 1/2 < 1, значит, формула применима.
3. Подставляем значения: S = 12/(1 − 1/2) = 12/(1/2) = 24.

Ответ: 24.

Задача 3. Найти сумму прогрессии 5; −2; 4/5; … Знаки членов чередуются, поэтому знаменатель отрицательный. При проверке сходимости учитываем его модуль, но в формулу подставляем исходное отрицательное значение. Так не теряется знак и верно вычисляется знаменатель дроби.

1. Первый член b₁ = 5, знаменатель q = −2/5 = −2/5.
2. Проверяем условие: |q| = 2/5 < 1, поэтому формула применима.
3. Находим сумму: S = 5/(1 − (−2/5)) = 5/(7/5) = 25/7.

Ответ: 25/7.

Типичные ошибки

Считать предел обязательным членом последовательности. Это неверно: предел описывает, к чему приближаются члены, но не требует равенства с одним из них. Такую ошибку допускают, когда воспринимают предел как «последний член». Проверьте, можно ли назвать номер, при котором член равен пределу: у 1/n такого номера для нуля нет.

Применять формулу суммы без проверки |q| < 1. Формула получается переходом к пределу, для которого необходимо, чтобы qⁿ стремилось к нулю. Ученик может увидеть знакомую дробь и сразу подставить числа. Перед вычислением отдельно найдите модуль знаменателя и убедитесь, что он меньше единицы.

Путать q и |q|. Модуль используют при проверке условия, а в формулу подставляют сам знаменатель со знаком. Ошибка появляется, если знак воспринимают как несущественную часть числа. Проверьте себя на прогрессии с чередующимися знаками: у неё q отрицателен, поэтому в знаменателе формулы получится 1 − (−|q|).

Называть сумму бесконечной прогрессии обычным сложением всех её членов. Бесконечное число слагаемых нельзя сложить так же, как конечный набор. Поэтому сначала находят Sₙ — сумму первых n членов — и исследуют её предел. Проверка состоит в том, чтобы указать, что именно стремится к S: это последовательность частичных сумм, а не отдельный член прогрессии.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь находить члены арифметической и геометрической прогрессий, знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых n её членов. Понятие предела продолжает развиваться при изучении функций, непрерывности и производной: там тоже исследуют поведение величин при приближении к заданному значению. Сумма бесконечной геометрической прогрессии помогает решать задачи о периодических дробях и повторяющихся долях. Во всех этих случаях важно понимать, к какому числу приближаются результаты.

Что запомнить

• Предел — число, к которому приближаются члены последовательности при увеличении их номеров.
• У геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на q.
• Для бесконечной геометрической прогрессии формула суммы применима при |q| < 1.
• Если |q| < 1, то qⁿ стремится к нулю.
• Сумма первых n членов равна Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), если q ≠ 1.
• Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна S = b₁/(1 − q).