"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем и обозначают q. Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член прогрессии и сумму нескольких первых членов. Эти формулы помогают описывать повторяющееся увеличение или уменьшение величин, например при начислении процентов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3; 6; 12; 24 каждый член после первого вдвое больше предыдущего. Такое правило позволяет продолжать последовательность и находить её члены, даже если выписаны не все.
Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное число q, равное отношению любого последующего члена к предыдущему. Его находят делением: q = aₙ₊₁/aₙ, если предыдущий член не равен нулю. Зная знаменатель, можно перейти от одного члена к следующему умножением, а также определить, как меняются члены прогрессии.
n-й член геометрической прогрессии — член последовательности с номером n, который можно вычислить через первый член и знаменатель. Для этого используют формулу aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Она нужна, когда требуется найти далёкий член, не выписывая все предыдущие по очереди.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии — сумма членов от первого до n-го включительно. Её обозначают Sₙ, а число n показывает, сколько именно членов складывают. Формула суммы помогает быстро найти результат, не записывая длинное сложение.
Постоянство отношения соседних членов означает, что для любого номера n отношение aₙ₊₁/aₙ равно одному и тому же числу q. Умножив обе части равенства на aₙ, получаем рекуррентную формулу aₙ₊₁ = aₙ·q. Слово «рекуррентная» означает, что правило задаёт следующий член через предыдущий. Поэтому, зная первый член и q, можно последовательно построить всю прогрессию.
Чтобы найти n-й член, начинаем с a₁ и каждый раз умножаем на q. Для a₂ выполняется одно умножение: a₂ = a₁·q, а для a₃ — два: a₃ = a₁·q². Значит, перед членом aₙ умножение повторяется n−1 раз, откуда aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. При n = 1 показатель равен нулю, а q⁰ = 1, поэтому формула правильно возвращает первый член.
Формулу суммы удобно вывести, обозначив Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Умножим всё равенство на q: qSₙ = a₂ + a₃ + … + aₙ₊₁, потому что каждый член при умножении переходит в следующий. Вычтем первое равенство из второго: qSₙ − Sₙ = aₙ₊₁ − a₁, так как промежуточные члены сокращаются. Получаем Sₙ = (aₙ₊₁ − a₁)/(q−1), а после подстановки aₙ₊₁ = a₁qⁿ выходит Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1).
В полученной формуле делят на q−1, поэтому она имеет смысл только при q ≠ 1. Если q = 1, каждый член равен первому: a₁, a₁, …, a₁. Здесь сумма состоит из n одинаковых слагаемых и равна Sₙ = n·a₁. Отдельное правило нужно не из-за сложности вычисления, а потому, что при подстановке q = 1 в общую формулу возникло бы деление на ноль.
Знак q показывает, будут ли меняться знаки членов: если q < 0, при каждом умножении знак меняется. При q > 0 знак сохраняется, а величина членов зависит от сравнения q с единицей. Если q > 1, положительные члены возрастают по модулю, а если 0 < q < 1 — уменьшаются; при q = 1 они постоянны. Для отрицательного q модуль тоже растёт при |q| > 1 и убывает при 0 < |q| < 1, но сами члены при этом чередуют знаки.
| Свойство | Формула или условие | Что позволяет найти |
|---|---|---|
| Признак геометрической прогрессии | aₙ₊₁/aₙ = q, q — постоянное число | Знаменатель прогрессии |
| Рекуррентная формула | aₙ₊₁ = aₙ·q | Следующий член по предыдущему |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ | Любой член прогрессии |
| Сумма первых n членов при q ≠ 1 | Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1) | Сумму заданного числа первых членов |
| Сумма первых n членов при q = 1 | Sₙ = n·a₁ | Сумму постоянной последовательности |
| Средний член | aₖ² = aₖ₋₁·aₖ₊₁ | Связь трёх соседних членов |
Сначала определите, что требуется найти: один член, сумму или знаменатель, — и выберите соответствующую строку. Перед вычислением суммы проверьте, не равен ли q единице. Для проверки прогрессии сравните отношения соседних членов: они должны совпадать.
Задача 1. Дана геометрическая прогрессия 3; 6; 12; … Найдите её знаменатель и следующие два члена. Отношение второго члена к первому равно 6/3 = 2, а отношение третьего ко второму — 12/6 = 2. Отношения совпадают, значит, знаменатель q = 2. Чтобы получить каждый следующий член, умножаем предыдущий на 2.
Ответ: q = 2; следующие члены — 24 и 48. Проверка проста: отношение каждого нового члена к предыдущему снова равно 2.
Задача 2. В геометрической прогрессии a₁ = 5, q = 2. Найдите a₈ и сумму первых восьми членов. Для отдельного члена используем формулу с показателем 8−1, поскольку от первого члена до восьмого нужно семь умножений. Для суммы подходит формула при q ≠ 1; здесь q = 2, значит, можно подставить числа непосредственно.
Ответ: a₈ = 640, S₈ = 1275. Оценить результат суммы можно и сложением членов 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640: оно даёт те же 1275.
Задача 3. В геометрической прогрессии a₂ = 6, a₅ = 162, q > 0. Найдите a₁, q и S₅. Между вторым и пятым членами три перехода, поэтому a₅ = a₂·q³. Так можно сначала найти q, не зная a₁; условие q > 0 помогает выбрать правильный корень. Затем восстановим первый член и применим формулу суммы.
Ответ: a₁ = 2, q = 3, S₅ = 242. Проверка по членам: 2, 6, 18, 54, 162; сумма этих пяти чисел действительно равна 242.
Знаменатель геометрической прогрессии путают с разностью арифметической: вместо деления соседних членов выполняют вычитание. Так происходит, потому что в обеих темах сравниваются соседние члены, но правило перехода разное. Проверьте себя: для геометрической прогрессии отношения соседних членов должны быть одинаковыми. Например, для 3; 6; 12 отношения равны 2, а разности — 3 и 6.
В формуле n-го члена иногда записывают aₙ = a₁·qⁿ, забывая, что для первого члена умножений ещё не было. Причина ошибки — смешение номера члена с числом переходов от первого члена. Подставьте n = 1: правильная формула должна дать a₁, а выражение с qⁿ обычно этого не делает. Поэтому показатель равен n−1.
В формуле суммы встречаются две равносильные записи: Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1) и Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q). Ошибка возникает, если взять числитель из одной записи, а знаменатель из другой: тогда меняется знак результата. Сверьте расположение q и единицы в числителе и знаменателе. Ещё до вычислений проверьте, что q ≠ 1, иначе делить на ноль нельзя.
Случай q = 1 иногда подставляют в общую формулу суммы, а при q < 0 забывают о чередовании знаков. Это происходит, когда формулу применяют автоматически, не анализируя условие. Сначала отдельно проверьте q: при q = 1 используйте Sₙ = n·a₁, а при отрицательном q проследите знаки при нескольких умножениях. Подстановка первого и второго членов в правило перехода помогает обнаружить ошибку.
Для изучения темы нужны умение возводить числа в степень, находить отношения и преобразовывать буквенные выражения. Также полезно решать простейшие уравнения: они помогают находить неизвестный знаменатель или первый член. Геометрическая прогрессия продолжает тему последовательностей и сопоставляется с арифметической, где постоянен не множитель, а разность. Позже её закономерности встретятся в задачах на проценты и сложные проценты, а также при изучении показательной функции и повторяющихся изменений величины.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
В арифметической прогрессии к предыдущему члену прибавляют одно и то же число — разность. В геометрической прогрессии предыдущий член умножают на одно и то же число — знаменатель. Поэтому для первой постоянна разность соседних членов, а для второй — их отношение.
Почему в формуле n-го члена стоит степень n−1, а не n?
Чтобы получить второй член из первого, знаменатель нужно применить один раз, а для третьего — два раза. От первого члена до n-го выполняется n−1 умножений, поэтому aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. При n = 1 степень равна нулю, и формула даёт a₁.
Как найти знаменатель, если известны два члена прогрессии?
Если известны соседние члены, разделите последующий на предыдущий: q = aₙ₊₁/aₙ. Если номера членов не соседние, выразите их через формулу aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ и составьте уравнение. При делении учитывайте, что делитель не должен быть равен нулю.
Какую формулу суммы использовать при q=1?
При q = 1 все члены равны a₁, поэтому сумма первых n членов равна Sₙ = n·a₁. Формула с делением на q−1 здесь неприменима: знаменатель дроби стал бы нулём. Сначала проверьте значение q, а уже потом выбирайте формулу суммы.
Что происходит со знаками членов, если знаменатель отрицательный?
При умножении на отрицательное число знак меняется, поэтому соседние члены имеют противоположные знаки. Например, при положительном первом члене знаки будут чередоваться: плюс, минус, плюс, минус. Модули членов при этом умножаются на |q|.
4.4. Геометрическая прогрессия
