3.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена

Определения и обозначения

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Например, в последовательности 3, 7, 11, 15 к каждому числу прибавляют 4. Это определение помогает отличать прогрессию от последовательностей с другими правилами перехода.

Разность арифметической прогрессии обозначают d; это число равно разности любого члена и предыдущего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Например, если соседние члены равны 8 и 13, то d = 13 − 8 = 5. Разность показывает, на сколько меняется значение за один шаг, и позволяет продолжать последовательность.

Члены прогрессии обозначают a₁, a₂, …, aₙ; индекс показывает номер члена. Поэтому a₁ — первый член, a₂ — второй, а aₙ — член, стоящий на n-м месте. Такая запись нужна, чтобы точно указывать, какие значения рассматриваются в условии или формуле.

Формула общего члена выражает любой член через его номер: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Здесь a₁ — первый член, d — разность, а n — номер искомого члена. С помощью этой записи можно находить далёкие члены прогрессии без последовательного вычисления каждого предыдущего.

Как это устроено

Чтобы распознать арифметическую прогрессию, вычисляют разности каждой пары соседних членов: из следующего вычитают предыдущий. Полученные числа сравнивают, потому что в такой последовательности каждый переход должен менять значение на одну и ту же величину. Если разности не совпадают хотя бы в одном месте, правило нарушается и последовательность не является арифметической прогрессией.

Разность d находят по двум соседним членам: d = aₙ₊₁ − aₙ. Порядок вычитания важен, поскольку он показывает направление перехода от предыдущего числа к следующему. Зная d, можно восстановить следующие члены: к последнему известному члену каждый раз прибавляют d; если d отрицательна, это равносильно вычитанию её модуля.

Формула общего члена получается из повторения одного и того же перехода. Чтобы дойти от a₁ до a₂, нужно прибавить d один раз; до a₃ — два раза; до a₄ — три раза. Значит, от первого члена до члена с номером n совершается n − 1 переходов, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d.

Если нужно найти член с большим номером, подставьте его номер в формулу вместе с известными a₁ и d. Например, для a₁₀₀ формула сразу учитывает все 99 переходов от первого члена. Поэтому нет необходимости выписывать a₂, a₃ и остальные промежуточные значения.

По нескольким членам можно проверить прогрессию или найти неизвестные параметры. Для проверки находят разности между всеми соседними известными членами и убеждаются, что они равны. Если известны члены с номерами 4 и 9, для каждого записывают формулу общего члена; получаются два уравнения с неизвестными a₁ и d. Решив систему, затем подставляют найденные значения в формулу и проверяют результат по исходным данным.

Основные сведения об арифметической прогрессии

Сначала определите, какие данные известны: первый член, разность или номер нужного члена. Затем выберите строку с подходящей формулой и подставьте значения. Следите, чтобы индекс в обозначении совпадал с номером члена из условия.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли последовательность 4, 9, 14, 19, … арифметической прогрессией; укажите её разность и следующие два члена. Сначала проверим не сами числа, а изменения между соседними членами. Если изменения постоянны, последовательность можно продолжить, прибавляя найденную разность.

1. Вычислим разности: 9 − 4 = 5, 14 − 9 = 5, 19 − 14 = 5.
2. Все разности равны, значит, последовательность является арифметической прогрессией и d = 5.
3. Прибавим 5 к последнему известному члену: 19 + 5 = 24, затем 24 + 5 = 29.

Ответ: да, это арифметическая прогрессия; d = 5, следующие члены — 24 и 29.

Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = 7 и d = −3. Найдите a₁₀. Разность отрицательна, поэтому при каждом переходе член уменьшается на 3. Чтобы вычислить десятый член, не будем выписывать всю последовательность, а используем число переходов от первого члена.

1. Запишем формулу: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
2. Подставим n = 10, a₁ = 7 и d = −3: a₁₀ = 7 + (10 − 1) · (−3).
3. Вычислим: a₁₀ = 7 + 9 · (−3) = 7 − 27 = −20.

Ответ: a₁₀ = −20. Девять переходов уменьшают первый член на 27, поэтому итоговое значение отрицательно.

Задача 3. Известно, что a₄ = 11 и a₉ = 31. Найдите a₁, d и a₁₅. Между четвёртым и девятым членами пять переходов, поэтому разность можно сначала определить по изменению за эти пять шагов. Затем восстановим первый член и используем формулу для пятнадцатого.

1. Запишем формулу для известных членов: a₄ = a₁ + 3d = 11 и a₉ = a₁ + 8d = 31.
2. Вычтем первое уравнение из второго: 5d = 20, значит, d = 4.
3. Подставим d в первое уравнение: a₁ + 3 · 4 = 11, поэтому a₁ = −1.
4. Найдём нужный член: a₁₅ = −1 + 14 · 4 = 55.

Ответ: a₁ = −1, d = 4, a₁₅ = 55. Проверка: от a₄ до a₉ пять шагов, и 11 + 5 · 4 = 31.

Типичные ошибки

Разность иногда считают в обратном порядке: aₙ − aₙ₊₁. Но по определению из следующего члена вычитают предыдущий, поэтому при убывании прогрессии d отрицательна. Ошибка возникает, если ориентироваться только на расстояние между числами и забыть о направлении. Проверьте себя: прибавление найденного d к предыдущему члену должно давать следующий.

В формуле общего члена можно по ошибке написать aₙ = a₁ + nd. Так считают, если принимают номер члена за число переходов. Однако от первого члена до n-го переходят n − 1 раз. Для проверки подставьте n = 1: формула должна дать a₁, а не другое число.

Иногда первый член считают членом с номером 0 или подставляют в формулу номер, отличный от указанного в задаче. Это происходит, когда номер смешивают со значением члена: например, a₁₀ — не число 10, а десятый член. Перед вычислением подпишите, чему равны n и a₁. При n = 1 формула должна возвращать первый член.

Одного совпадения разностей недостаточно, чтобы объявить последовательность арифметической прогрессией. Например, равенство первых двух разностей ничего не говорит о следующем переходе. Ошибку предотвращает проверка всех соседних пар среди данных членов. Если хотя бы одна разность отличается, последовательность не подходит под определение.

Связь с другими темами

Для работы с прогрессиями нужно уметь находить разность чисел, вычислять значения буквенных выражений и подставлять данные в формулы. Эти навыки особенно пригодятся, когда разность отрицательна или неизвестные параметры нужно определить из уравнений. Полезно также помнить, что индекс обозначает номер, а не значение члена.

Тема продолжает изучение числовых последовательностей: правило между соседними членами здесь превращается в формулу, зависящую от номера. Это помогает перейти от описания закономерности словами к точному вычислению. Формула общего члена понадобится дальше для нахождения членов и решения задач о сумме арифметической прогрессии.

Что запомнить

• В арифметической прогрессии разности соседних членов одинаковы.
• Разность прогрессии: d = aₙ₊₁ − aₙ.
• Каждый следующий член равен предыдущему плюс d.
• Формула общего члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• В формуле общего члена n — номер искомого члена.
• При d > 0 прогрессия возрастает, при d < 0 убывает, при d = 0 все её члены равны.