§ 2. Арифметическая прогрессия

Определения и обозначения

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой разность каждого следующего и предыдущего членов постоянна. Если её члены обозначены a₁, a₂, a₃ и так далее, определение записывают так: aₙ₊₁ − aₙ = d. Это условие позволяет проверить закономерность по соседним членам и отличить прогрессию от других последовательностей.

Число d называют разностью арифметической прогрессии: оно показывает, на сколько изменяется член при переходе к следующему. Разность может быть положительной, отрицательной или нулевой. По ней можно понять направление изменения последовательности и восстановить её члены.

Формула n-го члена позволяет найти член с номером n, зная первый член и разность: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Здесь n — номер нужного члена, а не количество прибавлений разности. Формула нужна, когда требуется получить конкретный член, не выписывая все предыдущие.

Сумма первых n членов обозначается Sₙ и может вычисляться по формулам Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 или Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2. Первая использует первый и последний члены, вторая — первый член и разность. Выбирай ту, для которой известны необходимые данные.

Как это устроено

Постоянная разность означает, что для получения следующего члена к предыдущему каждый раз прибавляют одно и то же число. Поэтому условие aₙ₊₁ − aₙ = d можно переписать как aₙ₊₁ = aₙ + d. Если задать первый член и разность, по этому правилу можно последовательно построить всю прогрессию; такой способ задания называют рекуррентным.

Формула n-го члена следует из повторного применения этого правила. Первый член равен a₁, второй — a₁ + d, третий — a₁ + 2d, а при каждом следующем шаге добавляется ещё одно d. Чтобы перейти от первого члена к члену с номером n, нужно пройти n − 1 промежутков, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d. Например, к первому члену прогрессии a₁ = 4 с разностью d = 3 пятый член равен 4 + 4 · 3 = 16.

Знак разности определяет, как меняются члены. Если d > 0, при каждом переходе прибавляется положительное число, поэтому члены возрастают; если d < 0, прибавляется отрицательное число, поэтому они убывают. При d = 0 прибавление ничего не меняет, и все члены равны. Это удобно проверять по знаку найденной разности, а не по внешнему виду нескольких чисел.

Свойство среднего члена получается из определения прогрессии. Для соседних переходов имеем aₙ − aₙ₋₁ = d и aₙ₊₁ − aₙ = d, значит, aₙ − aₙ₋₁ = aₙ₊₁ − aₙ. Перенос членов даёт 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁, то есть средний из трёх последовательных членов равен среднему арифметическому крайних. По этому равенству можно находить неизвестный член, если известны два соседних с ним.

Формулу суммы можно понять, записав сумму дважды: сначала в обычном порядке, затем в обратном. В каждой колонке при сложении соответствующих членов получается a₁ + aₙ, потому что крайние пары дают одинаковую сумму, как и остальные пары. Удвоенная сумма равна n(a₁ + aₙ), поэтому Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2. Если aₙ неизвестен, его можно выразить через a₁ и d и получить вторую формулу суммы.

Основные свойства арифметической прогрессии

Сначала выпиши, какие величины известны в задаче: номер члена, первый член, разность или последний член. Затем выбери строку с подходящей формулой и проверь, что подставляешь именно нужный номер. Если формула содержит неизвестную величину, найди её отдельно или выбери другой способ.

Разбор задач

Задача 1. Дана последовательность 4, 7, 10, 13, … Определить, является ли она арифметической прогрессией, и найти её разность.

1. Сравним соседние пары: от 4 до 7, от 7 до 10 и от 10 до 13. Это позволяет проверить, одинаково ли меняется последовательность на каждом шаге.
2. Вычтем предыдущий член из следующего: 7 − 4 = 3, 10 − 7 = 3, 13 − 10 = 3. Все разности совпали.
3. Значит, последовательность является арифметической прогрессией, а её разность d = 3. Проверку можно продолжить, если известны следующие члены.

Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = −5, d = 3. Найти a₁₂.

1. Для нахождения члена по номеру используем формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d. Здесь n = 12, поэтому от первого члена до двенадцатого будет 11 переходов, а не 12.
2. Подставим данные: a₁₂ = −5 + (12 − 1) · 3. Сначала считаем число переходов и умножаем его на разность: a₁₂ = −5 + 33.
3. Получаем a₁₂ = 28. Знак результата проверяем по росту: разность положительная, поэтому члены увеличиваются от −5.

Задача 3. В арифметической прогрессии a₃ = 8 и a₉ = 26. Найти a₁ и сумму первых 12 членов.

1. Запишем формулу для каждого известного члена: a₃ = a₁ + 2d = 8, a₉ = a₁ + 8d = 26. Коэффициенты 2 и 8 показывают число переходов от первого члена.
2. Вычтем первое уравнение из второго: 6d = 18, значит, d = 3. Подставим это в первое уравнение: a₁ + 2 · 3 = 8, откуда a₁ = 2.
3. Найдём двенадцатый член: a₁₂ = 2 + 11 · 3 = 35. Теперь применим формулу суммы: S₁₂ = (a₁ + a₁₂) · 12 / 2 = (2 + 35) · 6 = 222.

Ответ: a₁ = 2, S₁₂ = 222. Здесь сначала нашли разность по двум известным членам, затем восстановили первый член и только после этого вычислили сумму. Такой порядок удобен, когда исходные данные не включают ни первый член, ни разность.

Типичные ошибки

В формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d иногда вместо n − 1 пишут n. Ошибка возникает, если считать номер члена числом переходов от первого, хотя первый член уже находится на нулевом шаге. Проверь себя на втором члене: при n = 2 формула должна давать a₂ = a₁ + d.

Разность d путают с разностью любых двух членов. Между членами с номерами p и q находится не один шаг, а q − p шагов, поэтому a_q − a_p = (q − p)d. Чтобы проверить результат, раздели разность этих членов на разность их номеров: должно получиться d.

При поиске d можно изменить порядок вычитания и получить число с противоположным знаком. По определению вычитают предыдущий член из следующего: d = aₙ₊₁ − aₙ. После вычисления проверь подстановкой, верно ли равенство aₙ₊₁ = aₙ + d.

В формуле суммы иногда забывают умножить на число слагаемых или разделить на 2. Это происходит, когда запоминают только сумму крайних членов, но не учитывают количество одинаковых пар. Проверь формулу на короткой сумме: число слагаемых должно быть учтено, а деление на 2 появляется потому, что при сложении в прямом и обратном порядке сумма удваивается.

Связь с другими темами

Для работы с прогрессией нужны навыки вычитания чисел, вычисления выражений и подстановки значений в формулы. Сама прогрессия — пример последовательности, заданной на натуральных номерах: номер члена играет роль аргумента, а значение aₙ — соответствующее значение. Поэтому её формулы связывают закономерность между числами с функцией. Арифметические прогрессии применяют в задачах на суммы, числовые закономерности и математическое моделирование равномерного изменения.

Что запомнить

• В арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна.
• d = aₙ₊₁ − aₙ.
• aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• При d > 0 прогрессия возрастает, при d < 0 убывает.
• Средний из трёх последовательных членов равен среднему арифметическому крайних.
• Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2.