З.1.2.* Свойства последовательностей: монотонность, ограниченность

Определения и обозначения

Числовая последовательность — упорядоченный набор чисел, каждому натуральному номеру n которого соответствует член aₙ. Запись aₙ обозначает член с номером n, а формула последовательности позволяет находить его по номеру. Это понятие нужно, чтобы говорить не о случайном наборе чисел, а о закономерно расположенных членах.

Последовательность называют возрастающей, если aₙ₊₁ ≥ aₙ при всех допустимых n, и убывающей, если aₙ₊₁ ≤ aₙ. Если вместо знаков ≥ и ≤ стоят строгие знаки > и <, последовательность соответственно строго возрастает или строго убывает. Такое различие показывает, допускаются ли одинаковые соседние члены.

Монотонная последовательность — это последовательность, которая является возрастающей или убывающей. Иначе говоря, её члены не меняют направление движения: каждый следующий не меньше предыдущего либо каждый следующий не больше предыдущего. Понятие помогает описать поведение всей последовательности с помощью сравнения соседних членов.

Ограниченная последовательность — последовательность, все члены которой заключены между некоторыми числами. Ограниченность сверху и снизу рассматривают отдельно: сверху члены не превышают некоторого числа, а снизу не опускаются ниже некоторого числа. Это определение нужно, чтобы понять, могут ли значения последовательности уходить сколь угодно далеко.

Как это устроено

Чтобы установить монотонность, сравнивают каждый член со следующим, потому что именно это сравнение показывает направление изменения последовательности. Если aₙ₊₁ ≥ aₙ верно для каждого допустимого n, переход от любого члена к следующему не уменьшает значение. Одной пары или нескольких пар недостаточно: поведение может измениться на более поздних номерах. Поэтому доказательство должно охватывать все n, для которых определены соседние члены.

Если последовательность задана формулой, разность aₙ₊₁ − aₙ часто удобнее прямого сравнения двух длинных выражений. Неотрицательная разность означает, что следующий член не меньше предыдущего, а неположительная — что он не больше. Если разность выражается через n, нужно изучить её знак при всех натуральных n, а не только подставить несколько чисел. Так вычисление превращается в доказательство свойства всей последовательности.

Ограниченность сверху означает, что можно указать число M, для которого aₙ ≤ M при каждом n. Число M служит верхней границей, но не обязательно встречается среди членов последовательности. Для ограниченности снизу ищут число m, удовлетворяющее условию m ≤ aₙ для всех n. Эти условия говорят о границах значений, а не о том, как члены расположены друг относительно друга.

Чтобы доказать ограниченность целиком, находят числа m и M и проверяют двойное неравенство m ≤ aₙ ≤ M для каждого n. Для этого используют ограничения на n, преобразуют формулу или оценивают её части. Например, если n ≥ 1, то можно применять неравенства, вытекающие из этого условия, при работе с дробями. Важно проверить, что выбранные границы подходят не для нескольких значений, а для всех членов.

Монотонность и ограниченность отвечают на разные вопросы, поэтому одно свойство не следует из другого. Монотонная последовательность может расти без верхней границы, например aₙ = n, а ограниченная может менять направление, например чередовать 0 и 1. При исследовании последовательности поэтому отдельно выясняют знак изменения соседних членов и наличие границ. Такое разделение помогает не подменять одно доказательство другим.

Монотонность и ограниченность последовательности

Сначала выбери строку с нужным свойством и проверь указанное условие для всех допустимых n. Для возрастания и убывания сравнивай соседние члены, а для ограниченности ищи подходящие числа m и M. Границы могут не быть членами последовательности.

Разбор задач

Задача 1. Определить монотонность aₙ = 2n + 1

Нужно выяснить, как меняется значение формулы при переходе от n к n + 1. Для этого найдём разность соседних членов. Если она положительна для любого натурального n, последовательность строго возрастает.

1. Подставим n + 1 вместо n: aₙ₊₁ = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.
2. Вычтем предыдущий член: aₙ₊₁ − aₙ = (2n + 3) − (2n + 1) = 2.
3. Так как 2 > 0 при любом n, каждый следующий член больше предыдущего.

Ответ: последовательность строго возрастающая. Проверка разности для произвольного n доказывает свойство сразу для всех членов, а не только для первых нескольких.

Задача 2. Доказать ограниченность aₙ = 1/n

Натуральный номер n не меньше 1, поэтому дробь 1/n положительна и не превосходит 1. Эти две оценки сразу дают нижнюю и верхнюю границы. Проверим, что они справедливы для каждого натурального n.

1. Из n ≥ 1 следует, что 1/n > 0, поскольку знаменатель положителен.
2. Так как n ≥ 1, деление единицы на n даёт число не больше 1: 1/n ≤ 1.
3. Объединим оценки: 0 < aₙ ≤ 1 для всех натуральных n.

Ответ: последовательность ограничена снизу числом 0 и сверху числом 1. Нижняя граница 0 не является членом последовательности, и для доказательства это не требуется.

Задача 3. Исследовать aₙ = n/(n + 1)

Исследуем два свойства отдельно: сначала сравним соседние члены, затем найдём границы. В знаменателях дробей стоят положительные числа, поэтому при сравнении дробей можно учитывать только числители после приведения к общему знаменателю. Для оценки заметим, что n положительно, а знаменатель n + 1 больше числителя.

1. Запишем соседний член: aₙ₊₁ = (n + 1)/(n + 2). Тогда aₙ₊₁ − aₙ = ((n + 1)² − n(n + 2))/((n + 1)(n + 2)) = 1/((n + 1)(n + 2)).
2. Знаменатель разности положителен при натуральном n, поэтому разность положительна. Следовательно, последовательность строго возрастает.
3. Поскольку n > 0, дробь n/(n + 1) положительна. А из n < n + 1 следует, что n/(n + 1) < 1.

Ответ: последовательность строго возрастает и ограничена: 0 < aₙ < 1. Оценки показывают, что все её члены лежат между 0 и 1.

Типичные ошибки

• Проверить несколько первых членов и объявить последовательность монотонной — не доказательство. Первые значения могут вести себя одинаково, а дальнейшие — иначе; эту ошибку допускают, потому что вычисления выглядят убедительно. Проверяй себя: получено ли неравенство для произвольного n и обосновано ли, что оно верно при всех допустимых n?

• Смешивать нестрогую и строгую монотонность — значит не замечать, что в первом случае соседние члены могут быть равны. Путаница возникает из-за похожих слов «возрастающая» и «строго возрастающая». Проверь знак: для обычного возрастания подходит ≥, а для строгого требуется >.

• Считать, что верхняя граница обязательно является наибольшим членом, — значит путать ограничение с достижением границы. Это происходит потому, что слово «верхняя» может звучать как указание на крайнее значение среди членов. Проверь определение: достаточно, чтобы aₙ ≤ M для всех n, и M может не входить в последовательность.

• Делать вывод об ограниченности только из монотонности нельзя. Последовательность может всё время возрастать и при этом становиться сколь угодно большой, например aₙ = n. После проверки направления изменения отдельно найди верхнюю и нижнюю оценки; убедись, что каждая действует для всех n.

Связь с другими темами

Для исследования последовательностей нужны умения сравнивать числа, преобразовывать выражения и доказывать неравенства. Понятие последовательности и способы её задания позволяют выразить член через номер n, а затем сравнивать соседние члены или искать оценки. Монотонность и ограниченность становятся полезными при изучении предела и сходимости последовательностей: они помогают описывать поведение членов при больших номерах. Без них сложнее понять, к какому значению может приближаться последовательность.

Что запомнить

• Возрастание проверяют сравнением соседних членов: aₙ₊₁ ≥ aₙ.
• Убывание проверяют условием aₙ₊₁ ≤ aₙ.
• Для строгой монотонности неравенство должно быть строгим.
• Монотонная последовательность либо возрастает, либо убывает.
• Ограниченность сверху и снизу доказывают отдельными оценками.
• Монотонность сама по себе не гарантирует ограниченность.