§ 8. Геометрическая прогрессия

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число. Например, 2; 6; 18; 54; … — геометрическая прогрессия. Это определение позволяет распознавать последовательность по способу перехода от одного члена к следующему.

Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное число q, показывающее, во сколько раз следующий член отличается от предыдущего. Если соседние члены не равны нулю, его находят по формуле q = bₙ₊₁ / bₙ. Зная q, можно продолжить прогрессию или исследовать изменение её членов.

n-й член геометрической прогрессии — член последовательности с номером n. Его вычисляют по формуле bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, где b₁ — первый член, а q — знаменатель. Формула нужна, чтобы сразу найти дальний член, не выписывая все предыдущие.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии — результат сложения b₁, b₂, …, bₙ. Её обозначают Sₙ и вычисляют специальной формулой. Это удобно, когда требуется сложить много членов последовательности.

Как это устроено

Постоянное отношение соседних членов означает, что при переходе от bₙ к bₙ₊₁ результат всегда получается умножением на одно и то же число. Поэтому условие геометрической прогрессии записывают так: bₙ₊₁ = bₙ·q. В арифметической прогрессии переход устроен иначе: там каждый раз прибавляют постоянную разность, а не умножают на общий множитель.

Чтобы получить b₂ из b₁, выполняют одно умножение: b₂ = b₁·q. Для b₃ нужно умножить ещё раз, поэтому b₃ = b₁·q², а для bₙ потребуется n − 1 умножений. Отсюда получается формула bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, которая позволяет найти нужный член напрямую.

Знаменатель определяет характер прогрессии. При q > 1 положительные члены растут, а при 0 < q < 1 их модули уменьшаются; для отрицательных членов направление изменения модулей определяется так же. Если q < 0, знак меняется при каждом умножении, а при q = 1 все члены постоянны; случай q = −1 даёт чередование двух противоположных значений.

Формулу суммы получают не запоминанием, а преобразованием. Пусть Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ; после умножения на q имеем qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. Вычитая первое равенство из второго, получаем qSₙ − Sₙ = bₙ₊₁ − b₁, то есть Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1. Если q = 1, вычитание приводит к делению на ноль, поэтому отдельно используют Sₙ = n·b₁.

Основные формулы и свойства геометрической прогрессии

Таблица собрана как краткая памятка: сначала найдите подходящее условие, затем выберите нужную формулу. Индексы показывают номера членов, а q обозначает один и тот же множитель на всём протяжении прогрессии.

Разбор задач

Задача 1

Дана прогрессия 3; 6; 12; … Найдём её знаменатель и восьмой член. Сначала определим общий множитель, затем применим формулу члена с номером 8.

1. q = 6 : 3 = 2.
2. b₈ = 3·2⁷ = 3·128 = 384.

Ответ: q = 2, b₈ = 384. Проверка показывает, что каждый переход действительно выполняется умножением на 2.

Задача 2

Пусть b₁ = 81 и q = −1/3. Требуется найти b₅ и описать изменение знаков и модулей. Отрицательный q меняет знак при каждом переходе, а его модуль 1/3 уменьшает модуль предыдущего члена.

1. b₅ = 81·(−1/3)⁴.
2. Чётная степень убирает минус: (−1/3)⁴ = 1/81.
3. b₅ = 81·1/81 = 1.

Ответ: b₅ = 1; знаки чередуются, а модули уменьшаются в 3 раза на каждом шаге: 81, 27, 9, 3, 1.

Задача 3

Найдём сумму первых 10 членов при b₁ = 2 и q = 3. Сначала проверяем условие применения формулы: q ≠ 1, значит можно использовать Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).

1. S₁₀ = 2(3¹⁰ − 1)/(3 − 1).
2. 3¹⁰ = 59049, поэтому S₁₀ = 2·59048/2.
3. S₁₀ = 59048.

Ответ: сумма первых 10 членов равна 59048. Деление на q − 1 здесь допустимо, потому что 3 − 1 не равно нулю.

Типичные ошибки

Путают геометрическую прогрессию с арифметической и вместо умножения прибавляют постоянное число. Так происходит, потому что обе последовательности строятся по одному правилу. Проверьте себя: частные соседних членов должны быть одинаковыми, а не разности.

Записывают bₙ = b₁·qⁿ, забывая, что показатель равен n − 1. Причина ошибки — считают переход к первому члену отдельным умножением, хотя b₁ уже дан. Подставьте n = 1: правильная формула должна вернуть b₁, а не b₁q.

Применяют формулу суммы b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q = 1. В этом случае знаменатель формулы равен нулю, а все члены просто равны b₁. Используйте тогда Sₙ = n·b₁.

Неверно работают с отрицательным q: теряют знак или забывают о чередовании. Знак степени зависит от чётности показателя, поэтому сначала определите её чётность, а затем вычисляйте модуль. Полезно выписать первые два-три члена для проверки.

Связь с другими темами

Для работы с геометрической прогрессией нужны степени с натуральным показателем, преобразование дробей и решение простейших уравнений. Эти навыки помогают правильно вычислять qⁿ, сокращать выражения и находить неизвестные элементы прогрессии.

Геометрическая прогрессия описывает сложные проценты, последовательные скидки и финансовые расчёты. Её формулы также связаны с показательными функциями и становятся основой для изучения бесконечных геометрических прогрессий.

Что запомнить

• В геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно.
• Знаменатель обозначают буквой q.
• Формула n-го члена: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹.
• При q > 0 знаки членов не меняются, а при q < 0 чередуются.
• Сумму первых n членов при q ≠ 1 находят по формуле Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
• При q = 1 все члены равны b₁, поэтому Sₙ = n·b₁.
• Средний из трёх последовательных членов связан с соседними равенством bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁.