8.1. Понятие геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, каждый следующий член которой получают умножением предыдущего на одно и то же число. Например, 2, 6, 18, 54 — геометрическая прогрессия, потому что каждый раз выполняется умножение на 3. Это определение позволяет быстро распознавать такой вид последовательности.

Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное число q, на которое умножают предыдущий член, чтобы получить следующий. В последовательности 2, 6, 18 знаменатель равен 3. Зная q, можно продолжить последовательность или найти её члены.

Член геометрической прогрессии — отдельное число последовательности, обычно обозначаемое bₙ, где n показывает его порядковый номер. Например, b₁ — первый член, b₂ — второй, а b₅ — пятый. Такая запись помогает говорить о любом члене, не выписывая всю последовательность.

Формула n-го члена имеет вид bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Она связывает любой член с первым членом и знаменателем. С её помощью не нужно последовательно находить все предыдущие значения, если требуется сразу получить, например, b₁₀.

Как это устроено

Условие bₙ₊₁ = bₙ · q означает: для перехода от члена с номером n к следующему нужно умножить его на один и тот же множитель q. Поэтому b₂ = b₁ · q, b₃ = b₂ · q, b₄ = b₃ · q и так далее. Во всех соседних парах отношение следующего члена к предыдущему равно q, если деление определено, поэтому отношение остаётся постоянным.

Знаменатель находят делением последующего члена на предыдущий: q = bₙ₊₁ / bₙ. Это верно потому, что из равенства bₙ₊₁ = bₙ · q при bₙ ≠ 0 можно разделить обе части на bₙ. Если предыдущий член равен нулю, такое деление невозможно, поэтому проверяют прогрессию по рекуррентной формуле или выбирают другую пару ненулевых соседних членов.

Пошаговое умножение объясняет формулу общего члена: b₂ = b₁ · q, b₃ = b₁ · q · q = b₁ · q², b₄ = b₁ · q³. Чтобы дойти от первого члена до номера n, нужно сделать n − 1 переходов. Поэтому показатель степени равен n − 1, и получается формула bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.

Значение и знак q определяют вид прогрессии. При положительном q знаки не меняются: если q > 1 и первый член положителен, члены растут, а при 0 < q < 1 их абсолютные значения уменьшаются. При q < 0 знаки чередуются, q = 1 даёт постоянные члены, а при q = 0 все члены начиная со второго равны нулю.

Геометрическую прогрессию не следует путать с арифметической. В геометрической прогрессии постоянным является отношение соседних членов: bₙ₊₁ / bₙ = q. В арифметической прогрессии постоянной остаётся разность: aₙ₊₁ − aₙ = d, поэтому способы проверки у этих последовательностей различаются.

Основные характеристики геометрической прогрессии

Таблицу удобно использовать как краткую схему при решении задач. Сначала определите, какие величины известны, затем выберите рекуррентную формулу или формулу n-го члена. Если требуется найти q через деление, проверьте, что делитель не равен нулю.

Отдельно обращайте внимание на номер члена: в формуле стоит степень n − 1, а не n. Строки о q = 1 и q < 0 помогают заранее предсказать, будут ли члены постоянными или будут менять знак.

Разбор задач

Задача 1

Условие: дана последовательность 3, 6, 12, 24, … . Определите, является ли она геометрической прогрессией, и найдите её знаменатель.

1. Сравним отношения соседних членов: 6 / 3 = 2, 12 / 6 = 2, 24 / 12 = 2.
2. Все частные одинаковы, значит, каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно число.
3. Это число и есть знаменатель: q = 2.

Ответ: последовательность является геометрической прогрессией, q = 2.

Задача 2

Условие: в геометрической прогрессии b₁ = 5, q = 2. Найдите b₆.

1. Для произвольного номера используем формулу bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
2. Подставим данные и номер: b₆ = 5 · 2⁶⁻¹ = 5 · 2⁵.
3. Вычислим степень: 2⁵ = 32, поэтому b₆ = 5 · 32 = 160.

Ответ: b₆ = 160.

Задача 3

Условие: известно, что b₃ = 12 и q = ½. Найдите b₁ и b₇.

1. Запишем формулу для третьего члена: b₃ = b₁ · (½)² = b₁ / 4.
2. Из равенства 12 = b₁ / 4 получаем b₁ = 48.
3. Теперь найдём седьмой член: b₇ = 48 · (½)⁶ = 48 / 64 = ¾.

Ответ: b₁ = 48, b₇ = ¾.

Типичные ошибки

Проверяют разность вместо отношения. Так поступают по привычке после изучения арифметической прогрессии. Для геометрической прогрессии нужно вычислять bₙ₊₁ / bₙ и сравнивать частные.

Пишут bₙ = b₁ · qⁿ. Ошибка появляется, если забыть, что первый член получают без умножений. Проверьте формулу при n = 1: правильная запись даёт b₁ · q⁰ = b₁.

Меняют порядок деления. Выражение bₙ / bₙ₊₁ даёт число, обратное знаменателю. Чтобы получить q, делите последующий член на предыдущий: bₙ₊₁ / bₙ.

Не учитывают знак и ноль в знаменателе. При q < 0 знаки членов чередуются, а при q = 0 после первого члена идут нули. Проверьте знак q и подставьте его в первые два шага последовательности.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны навыки работы с последовательностями, степенями и отношениями чисел. Геометрическая прогрессия пригодится при изучении суммы её членов, а также в задачах на проценты, вклады и повторяющиеся изменения. Её общий член содержит степень q, поэтому тема связана с показательной функцией.

Что запомнить

• В геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно.
• Знаменатель обозначают буквой q.
• Основная рекуррентная формула: bₙ₊₁ = bₙ · q.
• Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
• Первый член прогрессии находится при n = 1.
• При отрицательном q знаки соседних членов чередуются.
• Для проверки прогрессии нужно сравнить отношения соседних ненулевых членов.