"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми соседними членами одна и та же. Зная первый член и эту разность, можно найти любой член последовательности, не выписывая все числа подряд. Такая закономерность помогает описывать равномерное увеличение или уменьшение величин, решать задачи и готовиться к изучению суммы членов прогрессии. Главное — правильно определить разность и использовать формулу n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, у каждого числа есть свой номер. Первый член обозначают a₁, второй — a₂, а член с номером n — aₙ. Такая запись помогает не путать сами числа и их места в последовательности. Например, в последовательности 4, 7, 10 член a₂ равен 7.
Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получают прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Это число может быть положительным, отрицательным или нулём. Определение позволяет узнать, есть ли у последовательности единое правило перехода от одного члена к следующему. Например, числа 4, 7, 10 образуют прогрессию, потому что к каждому числу прибавляют 3.
Разность арифметической прогрессии — число d, равное разности следующего и предыдущего членов: d = aₙ₊₁ − aₙ. Индекс n указывает, какой переход рассматривают, но значение разности для всех переходов одно и то же. По разности можно восстановить следующий член и понять, в какую сторону меняются числа. Например, если d = −2, каждый следующий член на 2 меньше предыдущего.
n-й член арифметической прогрессии — это число, стоящее на месте с номером n; его обозначают aₙ. Его можно найти по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d, если известны первый член и разность. Формула нужна, чтобы сразу вычислить член с большим номером, не выписывая все предыдущие. Например, по ней можно найти a₁₀, даже если известны только a₁ и d.
Постоянная разность соседних членов и задаёт арифметическую прогрессию: всякий раз число изменяется на одну и ту же величину. Чтобы проверить последовательность по её членам, вычтите каждый член из следующего и сравните результаты. Например, для 5, 8, 11, 14 разности равны 3, 3 и 3, значит, правило сохраняется. Если хотя бы одна разность отличается, это не арифметическая прогрессия.
Когда разность d известна, следующий член всегда получается из предыдущего одним и тем же действием — прибавлением d. Поэтому правило можно записать так: aₙ₊₁ = aₙ + d. Это рекуррентное правило, то есть способ находить очередной член через предыдущий. Оно удобно, когда нужно продолжить последовательность по порядку, а для дальнего члена обычно быстрее использовать общую формулу.
Чтобы получить aₙ из a₁, сначала прибавляют d и получают a₂, затем прибавляют d ещё раз и получают a₃. Всего от первого члена до члена с номером n нужно пройти n − 1 переходов. Значит, к a₁ прибавляют разность n − 1 раз: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Например, в формуле для a₆ множитель равен 5, а не 6, потому что между первым и шестым членами пять промежутков.
Знак разности показывает направление изменения последовательности. Если d > 0, к каждому члену прибавляют положительное число, поэтому члены возрастают; если d < 0, прибавляют отрицательное число, поэтому они убывают. При d = 0 каждое прибавление оставляет число прежним, и последовательность постоянна. Знак d сам по себе не определяет знаки членов: убывающая прогрессия может некоторое время оставаться положительной.
У среднего из трёх последовательных членов есть особое свойство: он равен полусумме соседних. Действительно, из постоянства разности следует aₙ₊₁ − aₙ = aₙ − aₙ₋₁. Перенесём члены: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁, а затем разделим обе части на 2. Получаем aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2; это равенство удобно, когда нужно найти пропущенный внутренний член.
| Что описываем | Обозначение или формула | Как использовать |
|---|---|---|
| Разность прогрессии | d = aₙ₊₁ − aₙ | Найти изменение от члена к следующему и проверить, постоянно ли оно. |
| Рекуррентное правило | aₙ₊₁ = aₙ + d | Получить следующий член, зная предыдущий и разность. |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Найти член с номером n по первому члену и разности. |
| Поведение членов при разных значениях d | d > 0 — возрастает; d < 0 — убывает; d = 0 — постоянна | Определить, увеличиваются или уменьшаются члены. |
| Свойство среднего члена | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 | Найти внутренний член по двум соседним. |
Сначала определите, какие данные известны: соседние члены, первый член, разность или несколько членов с номерами. Затем выберите формулу, которая связывает эти данные с искомой величиной. При проверке прогрессии сравнивайте разности соседних членов, а не сами числа.
Определите, является ли последовательность 5, 8, 11, 14, … арифметической, и найдите её разность. Нужно проверить не просто, увеличиваются ли числа, а одинаково ли они увеличиваются на каждом шаге. Для этого последовательно найдём разности соседних членов. Если результаты совпадут, можно назвать общее значение разностью прогрессии.
Ответ: да, является; d = 3.
В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = −3. Найдите a₆. Подставим данные в формулу n-го члена: для шестого члена нужно взять n = 6. Важно учесть, что разность прибавляется пять раз, потому что от первого члена до шестого пять переходов. Отрицательное значение d означает, что на каждом шаге член уменьшается на 3.
Ответ: a₆ = −8.
В арифметической прогрессии a₄ = 13 и a₉ = 33. Найдите разность, первый член и a₁₅. Два известных члена находятся не рядом, поэтому сначала выразим каждый через a₁ и d. Получим два уравнения, а вычитание одного из другого позволит убрать a₁. После этого найдём первый член и используем формулу ещё раз для номера 15.
Ответ: d = 4, a₁ = 1, a₁₅ = 57.
Первая ошибка — вычислять разность в обратном порядке: aₙ − aₙ₊₁ вместо aₙ₊₁ − aₙ. Так знак d меняется, потому что порядок вычитания важен. Обычно это происходит, когда ученик механически вычитает большее число из меньшего или не сверяется с определением. Проверка: для пары 5 и 8 разность равна 8 − 5 = 3.
Вторая ошибка — использовать в формуле множитель n вместо n − 1. Например, при поиске a₆ разность ошибочно прибавляют шесть раз, хотя от a₁ до a₆ только пять переходов. Ошибку вызывает смешение номера члена с количеством шагов. Проверьте себя на небольших номерах: для a₂ формула должна дать a₁ + d.
Третья ошибка — объявлять последовательность арифметической, сравнив только первые два члена. Любые два числа задают одну разность, но следующие члены могут ей не подчиняться. Проверяйте все доступные соседние пары или докажите постоянство разности с помощью формулы. Если, например, разности равны 2, 2 и 5, последовательность не является арифметической.
Четвёртая ошибка — считать, что отрицательная разность означает отрицательные члены. На самом деле знак d показывает направление изменения, а знак каждого члена зависит ещё и от начального значения. Например, при a₁ = 10 и d = −2 первые члены положительны, хотя прогрессия убывает. Чтобы проверить вывод, отдельно вычислите нужные члены и не смешивайте их знак со знаком разности.
Для работы с прогрессией нужно уметь находить разность чисел, преобразовывать буквенные выражения и подставлять значения в формулы. Тогда переход от определения к вычислениям становится прямым: данные задачи можно записать через a₁ и d. Арифметическая прогрессия описывает закономерности, в которых величина равномерно меняется на каждом шаге. Она понадобится при изучении суммы членов прогрессии и встречается в задачах на последовательное увеличение или уменьшение.
Формула aₙ = a₁ + (n − 1)d линейна относительно номера n: её можно переписать как aₙ = dn + (a₁ − d). Поэтому, если считать номер переменной, зависимость члена прогрессии от номера связана с линейной функцией. Это позволяет применять знакомые идеи о постоянном приращении и прямолинейном изменении величины.
Как быстро проверить, является ли последовательность арифметической?
Вычтите каждый член из следующего: a₂ − a₁, a₃ − a₂ и так далее. Если все полученные разности одинаковы, последовательность арифметическая.
Как найти разность арифметической прогрессии?
Вычтите предыдущий член из следующего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Например, если соседние члены равны 8 и 11, то d = 11 − 8 = 3.
Почему в формуле n-го члена стоит n − 1?
От первого члена до второго нужно сделать один переход, а до третьего — два. Поэтому от a₁ до aₙ выполняется n − 1 переходов, и разность d прибавляется ровно столько раз.
Может ли арифметическая прогрессия убывать?
Да. Если разность d отрицательна, каждый следующий член меньше предыдущего, поэтому прогрессия убывает. При этом сами её члены могут быть и положительными, и отрицательными.
Как найти неизвестные члены прогрессии, если известны два её члена?
Запишите формулу n-го члена отдельно для каждого известного члена. Получится система уравнений с неизвестными a₁ и d; найдите их, а затем подставьте в формулу для нужного номера.
4.2. Арифметическая прогрессия
