"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Простые и сложные проценты помогают вычислить, как меняется сумма вклада или долга со временем. При простом начислении процент каждый раз считают только от первоначальной суммы, а при сложном — от суммы, уже увеличенной предыдущими начислениями. Поэтому для расчётов нужны начальный капитал, ставка за один период и число периодов. Разобравшись в двух формулах, можно сравнивать финансовые предложения и понимать, почему вклады с капитализацией растут быстрее.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простые проценты — это начисления, которые в каждом периоде считают только от первоначальной суммы. Обозначим эту сумму буквой P, ставку за период — r, а число периодов — n. Такой способ нужен, когда проценты не присоединяют к капиталу для дальнейших начислений.
Сложные проценты — это проценты, которые начисляют на сумму, накопленную к началу очередного периода. В неё входят первоначальный капитал и все ранее начисленные проценты. Такое определение помогает понять, почему база расчёта со временем увеличивается.
Процентная ставка показывает, какую долю от суммы начисляют за один период. Если ставка равна p%, то в формулах используют r = p/100: например, 5% превращаются в 0,05. Доля r нужна для вычислений, а процентная запись удобна для описания условий вклада.
Капитализация процентов — это присоединение начисленных процентов к сумме вклада. После этого увеличенная сумма становится базой для следующего начисления. Понятие помогает определить, применима ли к вкладу формула сложных процентов.
При простом начислении за один период прибавляется процент от первоначального капитала P, то есть Pr. Эта величина не меняется от периода к периоду, потому что база остаётся прежней. За n периодов прибавится n одинаковых начислений, поэтому общий прирост равен nPr, а итоговая сумма — S = P(1 + nr).
При сложном начислении база меняется после каждого периода: начисленные проценты присоединяются к сумме. За первый период капитал P превращается в P(1 + r), за второй — в P(1 + r)(1 + r). Так как множитель один и тот же, после n периодов получаем S = P(1 + r)ⁿ. Степень здесь показывает, сколько раз повторилось умножение.
Формулы позволяют сразу увидеть разницу между способами. Для простых процентов S = P(1 + nr), для сложных S = P(1 + r)ⁿ, где P — начальная сумма, r — ставка за один период в долях единицы, n — количество периодов. Например, годовую ставку используют при ежегодном начислении, а месячную — при ежемесячном. Если период начисления другой, ставку нужно сначала согласовать с ним.
Ставка и период должны соответствовать друг другу, потому что процент описывает начисление именно за определённое время. Если годовую ставку 12% применить к каждому месяцу как 12%, за год будут начислены проценты, будто ставка действует двенадцать раз. Для месячных расчётов годовую ставку обычно переводят в ставку за месяц согласно условиям задачи. Всегда уточняй, за какой период указана ставка и как часто происходит начисление.
При одинаковых начальном капитале, ставке за период и числе периодов сложное начисление даёт сумму не меньше, чем простое. В первом периоде результаты совпадают, но затем сложная схема начисляет процент и на прежние проценты. Поэтому при положительной ставке и нескольких периодах разница обычно увеличивается. Именно этот эффект делает капитализацию важной при сравнении вкладов.
| Свойство | Простые проценты | Сложные проценты |
|---|---|---|
| База начисления в каждом периоде | Первоначальный капитал | Сумма к началу периода с прежними начислениями |
| Начисление за один период | Одинаковое: Pr | Растёт вместе с суммой |
| Формула суммы через n периодов | S = P(1 + nr) | S = P(1 + r)ⁿ |
| Как изменяется сумма процентов по периодам | Не меняется | Обычно увеличивается при положительной ставке |
| Как учитываются ранее начисленные проценты | Не входят в базу новых начислений | Входят в базу следующих начислений |
Сначала найди в условии начальную сумму, ставку за период и число периодов. Затем определи, остаётся ли база начисления прежней или увеличивается после каждого начисления, и выбери соответствующую формулу.
При сравнении предложений проверь, совпадают ли периоды начисления. Таблица помогает не перепутать постоянную базу простых процентов с увеличивающейся базой сложных.
На вклад положили 20 000 рублей под 5% годовых по схеме простых процентов. Найдите сумму через 3 года. Здесь проценты каждый год считают от первоначального вклада, поэтому годовое начисление будет одинаковым. Переведём ставку в доли и найдём сначала эту величину.
Ответ: через 3 года на вкладе будет 23 000 рублей. Проценты за каждый год равны 1 000 рублей, так как база не меняется. В решении важно было не умножать увеличенную сумму на ставку.
Вклад 20 000 рублей размещён под 5% годовых с ежегодной капитализацией. Найдите сумму через 3 года. Ежегодная капитализация означает, что после каждого года начисления прибавляют к вкладу. Поэтому применим формулу сложных процентов, а не будем трижды прибавлять одинаковую сумму.
Ответ: через 3 года получится 23 152,5 рубля. Каждый следующий процент начислялся на сумму, уже увеличенную предыдущим начислением. Поэтому результат на 152,5 рубля больше, чем при простых процентах.
Сравните суммы вклада 50 000 рублей под 6% годовых за 4 года при простом начислении и ежегодной капитализации. Найдите, на сколько один результат больше другого. Чтобы сравнение было честным, в обоих расчётах ставка должна относиться к одному периоду — году. Сначала найдём две суммы отдельно.
Ответ: при ежегодной капитализации сумма больше примерно на 1 123,85 рубля. Мы сравнили итоговые суммы, а не только проценты за один период. Это позволяет учесть действие капитализации за все четыре года.
Подстановка числа процентов вместо ставки в долях — например, использование 5 вместо 0,05 — увеличивает начисление в сто раз. Так ошибаются, потому что смешивают процентную запись и десятичную дробь. Перед вычислением раздели процентное число на 100. Проверь, что множитель для 5% равен 1,05, а не 6.
Иногда формулу простых процентов возводят в степень или, наоборот, при сложном начислении просто умножают годовое начисление на число лет. Причина — формулы запоминают без связи с тем, как меняется база. Спроси себя, присоединяются ли проценты к сумме после периода. Если база постоянная, используй S = P(1 + nr), если увеличивается — S = P(1 + r)ⁿ.
При сложных процентах ошибочно каждый год начисляют процент только на первоначальный капитал. Так происходит, если забыть смысл капитализации и применить к сложному начислению логику простого. Проверь сумму после первого периода: она должна стать новой базой следующего расчёта. Например, после года под 5% сумма P превращается в 1,05P.
Ещё одна ошибка — применять годовую ставку к каждому месяцу, не меняя её. Обычно так делают, потому что замечают число периодов, но не проверяют, к чему относится ставка. Сверь единицы: месячная ставка должна соответствовать одному месяцу начисления, годовая — одному году. Если периоды не совпадают, сначала приведи ставку и период к общему шагу расчёта.
Для расчётов нужны знания о процентах, дробях и степенях, а также умение находить процент от числа. Перевод ставки из процентов в десятичную дробь связывает процентную запись с обычными вычислениями. Сложные проценты показывают повторное умножение на постоянный множитель, поэтому связаны с геометрической прогрессией и показательной зависимостью. Эти способы применяют, когда сравнивают вклады, кредиты и другие финансовые предложения.
Чем простые проценты отличаются от сложных?
При простом начислении проценты каждый период считают от первоначальной суммы. При сложном начислении их считают от суммы, в которую уже вошли прежние проценты.
Почему при сложных процентах сумма возводится в степень?
После каждого периода сумму умножают на один и тот же множитель 1 + r. За n периодов это умножение повторяется n раз, поэтому получается степень (1 + r)ⁿ.
Как перевести процентную ставку в десятичную дробь?
Процентное число нужно разделить на 100: например, 5% = 5/100 = 0,05. В формулу подставляют десятичную дробь, а не число 5.
Что означает капитализация процентов?
Капитализация — это присоединение начисленных процентов к сумме вклада. В следующем периоде проценты начисляют уже на увеличенную сумму.
Как сравнить два вклада, если у них разные способы начисления процентов?
Нужно вычислить итоговую сумму каждого вклада по его способу начисления, используя одинаковые начальный капитал и срок. Ставку и период начисления предварительно приводят к согласованным единицам, затем сравнивают результаты.
4.6. Простые и сложные проценты
