"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Сумма квадратов первых n натуральных чисел — это выражение 1² + 2² + 3² + … + n². Для неё существует удобная формула Sₙ = n(n + 1)(2n + 1) / 6, позволяющая быстро получить результат без последовательного сложения. Её можно вывести с помощью разностей соседних кубов, а правильность проверить на малых значениях n и с помощью перехода к следующей сумме.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма квадратов — сумма вида 1² + 2² + 3² + … + n². В ней каждое натуральное число от 1 до n сначала возводят в квадрат, а затем складывают результаты. Такое выражение появляется, например, при подсчёте объектов, число которых в слоях растёт как квадраты.
Частичная сумма — сумма первых n членов последовательности, которую обозначают Sₙ. В нашем случае Sₙ = 1² + 2² + … + n². Это короткая запись длинного выражения, удобная для сравнения разных сумм и записи перехода к следующему значению.
Формула суммы квадратов — равенство Sₙ = n(n + 1)(2n + 1) / 6. Оно позволяет найти результат сразу по последнему числу n, не складывая все квадраты по очереди. Формула применяется при любом натуральном n.
Телескопическая сумма — сумма, в которой соседние слагаемые сокращаются после раскрытия разностей. Например, при сложении разностей кубов остаются только первый и последний куб. Такой приём помогает превратить сумму множества квадратов в выражение, которое легко упростить.
По определению Sₙ = 1² + 2² + … + n². Если добавить к этой сумме следующий квадрат, получится Sₙ₊₁ = 1² + 2² + … + n² + (n + 1)², то есть Sₙ₊₁ = Sₙ + (n + 1)². Причина такого перехода проста: новая сумма содержит все прежние слагаемые и только одно дополнительное.
Чтобы выразить квадраты через более удобные разности, рассмотрим соседние кубы. Раскрытие скобок даёт (k + 1)³ − k³ = k³ + 3k² + 3k + 1 − k³ = 3k² + 3k + 1. Квадрат k здесь появляется с коэффициентом 3, поэтому после суммирования равенств можно будет выделить Sₙ.
Просуммируем это равенство при k от 1 до n: Σ((k + 1)³ − k³) = 3Σk² + 3Σk + Σ1. Левая часть телескопическая: −1³ сокращается с +1³, −2³ с +2³ и так далее, поэтому остаётся (n + 1)³ − 1. Правая часть содержит 3Sₙ, сумму первых n чисел и сумму n единиц.
Используем известные равенства Σk = n(n + 1) / 2 и Σ1 = n. Тогда (n + 1)³ − 1 = 3Sₙ + 3n(n + 1) / 2 + n. Переносим остальные слагаемые в левую часть и делим на 3; после упрощения получаем Sₙ = n(n + 1)(2n + 1) / 6.
Проверить результат можно при небольших n. Например, S₃ = 1² + 2² + 3² = 14, и формула даёт 3 · 4 · 7 / 6 = 14. Кроме того, формула согласуется с рекуррентным переходом: разность значений для n + 1 и n равна (n + 1)².
Таблица связывает обозначения, формулы и смысл каждого шага. Ею удобно пользоваться как краткой памяткой при решении задач. Сначала найдите последнее число суммы, затем выберите определение, рекуррентный переход или основную формулу.
| Что рассматриваем | Запись или формула | Комментарий |
|---|---|---|
| Первые значения суммы | S₁, S₂, S₃, … | Проверка формулы на малых n |
| Определение суммы | Sₙ = 1² + 2² + … + n² | Суммируются квадраты всех чисел от 1 до n |
| Основная формула | Sₙ = n(n + 1)(2n + 1) / 6 | Позволяет находить сумму без последовательного сложения |
| Переход к следующему значению | Sₙ₊₁ = Sₙ + (n + 1)² | К предыдущей сумме добавляется следующий квадрат |
| Способ вывода | (k + 1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1 | Разности кубов образуют телескопическую сумму |
| Область применения | n — натуральное число | Формула используется для любого положительного n |
Последнее число в сумме равно 5, значит, нужно взять n = 5. Можно проверить результат непосредственным сложением, но формула показывает более общий способ решения. После вычисления сравним оба результата.
Ответ: 55.
По условию Sₙ = 385, поэтому составляем уравнение n(n + 1)(2n + 1) / 6 = 385. Здесь важно найти натуральное n, а не просто подставить известное значение. Удобно проверить подходящие значения, учитывая, что сумма с каждым увеличением n возрастает.
Ответ: n = 10.
Начинаем с разности соседних кубов, потому что после раскрытия скобок в ней появляется k². Сложение равенств от k = 1 до n уничтожает промежуточные кубы. Оставшееся равенство затем преобразуем с помощью известных формул.
Ответ: формула доказана для любого натурального n.
Складывают числа вместо квадратов. В выражении 1² + 2² + … + n² каждое слагаемое нужно возвести в квадрат; сумма 1 + 2 + … + n — это другая формула. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения записи. Проверьте себя, выписав первые два-три квадрата отдельно.
Неверно выбирают n. Иногда за n принимают количество промежуточных слагаемых или подставляют n − 1. На самом деле n — последнее число, квадрат которого записан в сумме. Найдите последний квадрат перед применением формулы.
Теряют множитель 2n + 1 или делитель 6. При переписывании формулы длинное произведение легко сократить ошибочно. Из-за этого ответ заметно отличается от правильного. Полезно после вычисления проверить результат прямым сложением при небольшом n или подставить полученное n обратно.
Распространяют формулу на любое целое n. В задаче n обозначает число первых натуральных чисел, поэтому рассматривается положительное целое n. Отрицательное или нулевое значение не соответствует обычной записи суммы из условия. Всегда проверьте область допустимых значений.
Для вывода формулы нужны формула суммы первых n натуральных чисел и умение раскрывать разность кубов. Эти навыки встречаются при преобразовании многочленов и работе с суммами.
Тема связана с последовательностями и рекуррентными соотношениями: Sₙ₊₁ = Sₙ + (n + 1)² задаёт каждое новое значение через предыдущее. Формулу также можно доказать методом математической индукции.
Сумма квадратов полезна при подсчёте объектов, расположенных слоями или рядами, когда число объектов в слоях образует последовательность квадратов. Поэтому формула применяется не только в алгебраических вычислениях.
Почему в формуле появляется множитель 2n + 1?
Он возникает при упрощении выражения, полученного после суммирования разностей кубов. Именно сочетание кубов, суммы чисел и суммы единиц приводит к множителю 2n + 1.
Можно ли найти сумму квадратов без запоминания формулы?
Да, можно сложить квадраты по очереди или вывести формулу через равенство (k + 1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1. Для больших n готовая формула значительно удобнее.
Как понять, какое значение подставлять вместо n?
Число n — это последнее число, квадрат которого входит в сумму. Например, в сумме 1² + 2² + … + 8² нужно подставить n = 8.
Почему деление на 6 всегда даёт целое число?
Потому что выражение n(n + 1)(2n + 1) всегда делится на 6 для натурального n. Это также следует из того, что формула равна сумме целых квадратов.
Как доказать формулу методом математической индукции?
Проверяют формулу при n = 1, а затем предполагают её верность для n и доказывают для n + 1. Для перехода используют равенство Sₙ₊₁ = Sₙ + (n + 1)² и приводят выражение к нужному виду.
4.7. Сумма квадратов первых n натуральных чисел (Для тех, кому интересно)
