"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Треугольник Паскаля — числовая таблица, строки которой помогают быстро записывать коэффициенты при раскрытии скобок (a + b)ⁿ. Крайние числа каждой строки равны 1, а каждое внутреннее получают сложением двух соседних чисел над ним. Номер строки показывает степень двучлена, а число коэффициентов в ней на единицу больше. Для разности учитывают чередование знаков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Треугольник Паскаля — числовая таблица в форме треугольника, где каждая строка содержит коэффициенты разложения степени суммы. Например, числа 1, 2, 1 соответствуют разложению (a + b)². Таблица позволяет находить коэффициенты, не перемножая скобки много раз.
Строка треугольника Паскаля — последовательность коэффициентов для разложения (a + b)ⁿ; номер строки совпадает с показателем n. Нумерация начинается с нуля, поэтому строке 0 соответствует нулевая степень, а строке 3 — куб суммы. По номеру строки можно понять, какую степень двучлена раскрывают.
Биномиальные коэффициенты — числа в строке треугольника, задающие коэффициенты членов разложения (a + b)ⁿ. Например, в строке 3 это числа 1, 3, 3, 1. Они показывают, сколько раз соответствующий тип произведения возникает при раскрытии скобок, поэтому помогают сразу записать результат.
Правило Паскаля — способ получить внутреннее число таблицы: сложить два числа, расположенных над ним. Так, число 6 в строке 4 получается из двух троек строки 3. Правило нужно для последовательного построения следующих строк, когда более высокие степени ещё не записаны.
Треугольник начинается с числа 1 в строке 0. Оно соответствует (a + b)⁰ = 1: при возведении любого ненулевого выражения в нулевую степень получается единица. Крайние числа каждой следующей строки тоже равны 1, потому что крайние члены разложения — aⁿ и bⁿ — появляются без дополнительных множителей. Поэтому таблица сохраняет единицы по обоим краям.
Чтобы построить новую строку, сначала ставят 1 слева и справа, а между ними складывают соседние числа предыдущей строки. Например, из 1, 3, 3, 1 получится 1, 4, 6, 4, 1: числа внутри равны 1 + 3, 3 + 3 и 3 + 1. Каждая пара даёт число в промежутке между своими элементами. Так соседние строки связаны простым правилом и образуют симметричную таблицу.
Первые разложения можно проверить обычным раскрытием скобок. Для квадрата (a + b)(a + b) получаем a² + 2ab + b²: средний член возникает дважды, поэтому коэффициенты — 1, 2, 1. При кубе после умножения на ещё одну скобку получаются коэффициенты 1, 3, 3, 1. Сравнение разложений с таблицей показывает, что числа строк действительно служат коэффициентами.
Строка с номером n задаёт коэффициенты для (a + b)ⁿ, причём в ней n + 1 число. В первом члене степень a равна n, а степень b — нулю; затем показатель a уменьшается на единицу, а показатель b увеличивается на единицу. Например, в строке 4 коэффициент 6 относится к члену a²b². Сумма показателей в каждом члене остаётся равной n, поэтому все члены имеют одинаковую общую степень.
Для разложения (a − b)ⁿ нужно заменить второе слагаемое b на −b и взять коэффициенты той же строки. При возведении −b в чётную степень знак положительный, а в нечётную — отрицательный. Поэтому в разложении знаки чередуются, начиная с плюса: например, (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Проверяй знак каждого члена по степени, в которую возведено отрицательное слагаемое.
| Номер строки n | Коэффициенты | Разложение (a + b)ⁿ |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | a + b |
| 2 | 1, 2, 1 | a² + 2ab + b² |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ |
Сначала найди строку по показателю степени, затем перенеси её числа в разложение слева направо. При этом степени первого слагаемого убывают, а второго возрастают. Для разности оставь коэффициенты прежними, но проверь знак каждого члена по степени второго слагаемого.
Нужно начать с нулевой строки и последовательно построить четыре следующие строки. У каждой новой строки по краям ставим единицы, а внутренние значения находим по двум соседним числам над ними. Например, для строки 2 единственное внутреннее число — сумма 1 + 1.
Запишем строку 0: 1, а затем строку 1: 1, 1. В обеих нет внутренних чисел, поэтому достаточно поставить единицы по краям.
Для строки 2 сложим два числа строки 1: 1 + 1 = 2. Получаем 1, 2, 1.
Для строки 3 сложим соседние числа строки 2: 1 + 2 = 3 и 2 + 1 = 3. Строка получается 1, 3, 3, 1.
Для строки 4 используем соседние пары 1 и 3, 3 и 3, 3 и 1. Их суммы равны 4, 6 и 4, поэтому строка — 1, 4, 6, 4, 1.
Ответ: строки 0–4 — 1; 1, 1; 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1. Проверка: в строке с номером n должно быть n + 1 число. Например, в строке 4 их пять.
Показатель равен 4, поэтому берём коэффициенты строки 4: 1, 4, 6, 4, 1. В каждом следующем члене степень x уменьшается, а степень второго слагаемого 2 увеличивается. Коэффициенты нужно умножить на соответствующие степени обоих слагаемых.
Первый член — x⁴, поскольку у x максимальная степень, а у 2 степень нулевая. Коэффициент перед ним равен 1.
Следующий член: 4x³ · 2 = 8x³. Далее получаем 6x² · 2² = 24x², потому что 2² = 4.
Четвёртый член равен 4x · 2³ = 32x, а последний — 2⁴ = 16. Степени x последовательно равны 4, 3, 2, 1 и 0.
Ответ: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16. Проверка по строке: коэффициенты до умножения на степени двойки идут в нужном порядке 1, 4, 6, 4, 1. Свободный член 16 совпадает с результатом подстановки x = 0.
Строка 5 имеет коэффициенты 1, 5, 10, 10, 5, 1. Искомый член должен содержать x³, поэтому степень множителя 2x в нём равна 3, а степень множителя −1 — 2. Такая пара степеней в сумме даёт 5.
Берём четвёртый коэффициент строки, равный 10: члены соответствуют степеням x⁵, x⁴, x³, x², x и числу без x. Искомому x³ отвечает коэффициент 10.
Составляем член: 10 · (2x)³ · (−1)². Здесь (2x)³ = 8x³, а (−1)² = 1, поэтому член равен 80x³.
Знак положительный, так как отрицательное слагаемое возведено в чётную степень 2. Следовательно, коэффициент при x³ равен 80.
Ответ: 80. При поиске коэффициента важно учитывать не только число из строки Паскаля, но и множители перед переменными, возведённые в соответствующие степени. Здесь двойка дала дополнительный множитель 2³ = 8.
Путают номер строки с количеством чисел в ней и, например, ищут четыре числа в строке 4. Такое происходит, если забыть, что нумерация начинается с нуля. Проверка простая: строка n всегда содержит n + 1 коэффициент, поэтому в строке 4 их пять.
При построении строки складывают числа, которые не стоят рядом, или берут только одно число сверху. Каждое внутреннее значение возникает из пары соседей предыдущей строки, а не из произвольных чисел. Проведи мысленно диагонали от двух соседних чисел к месту нового значения: если оба числа над ним не использованы, сумма выбрана неверно.
Иногда степени обоих слагаемых записывают в одном направлении: обе уменьшают или обе увеличивают. Ошибка возникает, когда ученик переносит числа строки, но не следит за степенями. Проверь каждый член: показатель первого слагаемого должен убывать от n до 0, второго — возрастать от 0 до n, а их сумма должна равняться n.
При разложении разности забывают, что второе слагаемое отрицательное, и оставляют все знаки положительными. Это случается, если механически переписать строку, предназначенную для суммы. Чтобы проверить результат, возведи −b в степень каждого члена: нечётная степень даёт минус, чётная — плюс. Например, в (a − b)³ знаки идут так: плюс, минус, плюс, минус.
Для работы с треугольником Паскаля нужны навыки раскрытия скобок и умножения многочленов: именно так можно проверить первые разложения. Знакомые формулы квадрата суммы и куба суммы дают строки 2 и 3 таблицы. Позже правило распространяется на любую натуральную степень двучлена в биноме Ньютона. Треугольник помогает быстро увидеть коэффициенты этой формулы, не перемножая множество скобок.
С какой строки начинается нумерация треугольника Паскаля?
С нулевой строки, состоящей из одного числа — 1. Она соответствует разложению (a + b)⁰ = 1.
Почему крайние числа в каждой строке равны единице?
При построении их ставят по краям каждой новой строки. В разложении крайние члены aⁿ и bⁿ имеют коэффициент 1, поэтому такая запись согласуется и с коэффициентами бинома.
Как найти внутреннее число следующей строки?
Сложи два соседних числа, стоящих над этим местом в предыдущей строке. Например, между 1 и 3 получится 1 + 3 = 4.
Как по строке треугольника составить разложение степени суммы?
Возьми коэффициенты строки с номером n и запиши их по порядку. Степень первого слагаемого начинай с n и уменьшай до нуля, а степень второго увеличивай от нуля до n.
Почему при разложении степени разности появляются минусы?
Разность можно представить как сумму с отрицательным слагаемым: (a − b)ⁿ = (a + (−b))ⁿ. Поэтому степень −b в каждом члене определяет знак: при нечётной степени он отрицательный, при чётной — положительный.
4.8. Треугольник Паскаля {Для тех, кому интересно)
