"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q, причём |q| < 1. Её члены становятся сколь угодно малыми, а частичные суммы приближаются к определённому числу — сумме всей прогрессии. Это позволяет складывать бесконечное количество слагаемых по формуле S = b₁/(1 − q), например быстро переводить периодические десятичные дроби в обыкновенные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число q. Это число называют знаменателем прогрессии; если первый член равен b₁, то следующий равен b₁q, а третий — b₁q². Зная b₁ и q, можно восстановить все члены последовательности.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия со знаменателем, для которого |q| < 1. Её члены стремятся к нулю, хотя при отрицательном q они могут быть то положительными, то отрицательными. Условие на модуль показывает, что размеры членов уменьшаются независимо от их знака.
Сумму первых n членов геометрической прогрессии называют n-й частичной суммой и обозначают Sₙ. Например, S₃ = b₁ + b₁q + b₁q². Частичную сумму удобно использовать, когда нужно подсчитать вклад конечного количества первых членов.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел её частичных сумм при n → ∞. Иными словами, складывают всё больше членов и смотрят, к какому числу приближается результат. Такое определение позволяет говорить о сумме бесконечного количества слагаемых, если приближение действительно устанавливается.
Члены прогрессии можно записать как b₁, b₁q, b₁q² и далее: n-й член равен bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Поэтому, чтобы понять поведение последовательности, достаточно изучить степени q. Если |q| < 1, каждое следующее умножение уменьшает абсолютное значение: например, при умножении на ½ оно каждый раз становится вдвое меньше. Поэтому qⁿ стремится к нулю, и члены прогрессии становятся сколь угодно малыми.
Чтобы получить формулу частичной суммы, запишем Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ⁻¹. Умножим обе части на q: qSₙ = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. Вычтем второе равенство из первого: почти все слагаемые сократятся, и получится Sₙ(1 − q) = b₁(1 − qⁿ). При q ≠ 1 делим на 1 − q и получаем Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Здесь b₁ задаёт начальный масштаб суммы, а q определяет, насколько быстро меняются последующие слагаемые.
Теперь рассмотрим, что происходит с Sₙ при неограниченном росте n. При |q| < 1 величина qⁿ стремится к нулю, значит, в числителе формулы остаётся b₁(1 − 0), то есть b₁. Знаменатель 1 − q не меняется, поэтому предел частичных сумм равен S = b₁/(1 − q). Так формула конечной суммы превращается в формулу суммы бесконечной прогрессии.
Условие |q| < 1 необходимо, потому что сумма определяется как предел частичных сумм, а не просто как результат подстановки в формулу. При q = 1 каждый член равен b₁, и частичные суммы растут как nb₁, если b₁ не равен нулю. При |q| > 1 члены обычно увеличиваются по модулю и не стремятся к нулю. При q = −1 слагаемые чередуются, а частичные суммы попеременно принимают разные значения и не имеют предела.
Отрицательное значение q не мешает найти сумму, если его модуль меньше единицы. Например, при q = −½ члены имеют вид b₁, −b₁/2, b₁/4, −b₁/8 и так далее. Каждая пара соседних слагаемых частично компенсируется, а их абсолютные значения становятся всё меньше. В формуле нужно подставлять q именно со знаком: тогда знаменатель будет 1 − (−½), то есть 3/2.
| Характеристика | Обозначение или формула | Условие или пояснение |
|---|---|---|
| Первый член и знаменатель | b₁ и q | Каждый следующий член получается умножением предыдущего на q. |
| Условие бесконечного убывания | |q| < 1 | Модуль знаменателя меньше единицы. |
| n-й член | bₙ = b₁qⁿ⁻¹ | Формула позволяет найти член с номером n. |
| Частичная сумма первых n членов | Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | Для q ≠ 1. |
| Сумма бесконечной прогрессии | S = b₁/(1 − q) | Формула применима при |q| < 1. |
| Поведение членов при n → ∞ | bₙ → 0 | Члены стремятся к нулю, даже если их знаки чередуются. |
Сначала по первым членам определите b₁ и найдите q, разделив второй член на первый. Затем проверьте условие |q| < 1 и только после этого выбирайте формулу суммы. Не путайте частичную сумму Sₙ с суммой всей бесконечной прогрессии S.
Нужно сначала убедиться, что перед нами геометрическая прогрессия, а затем выяснить, существует ли её бесконечная сумма. Для этого сравним соседние члены и проверим модуль знаменателя. После проверки используем формулу S = b₁/(1 − q).
Ответ: 24. Это число больше первого члена, потому что к 12 добавляются положительные слагаемые 6, 3 и далее, хотя каждое следующее вдвое меньше предыдущего.
Здесь знаки членов чередуются, поэтому особенно важно не потерять минус при нахождении знаменателя. Проверим, уменьшаются ли абсолютные значения, и только потом найдём сумму. Отрицательное q можно подставлять в общую формулу без изменения её вида.
Ответ: 16/3. Чередование знаков означает, что отрицательные члены уменьшают сумму, а положительные увеличивают её; формула учитывает оба действия.
Повторяющийся блок 27 появляется сначала в сотых, затем в десятитысячных, потом в миллионных разрядах. Поэтому дробь можно разложить на сумму 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + … . Слагаемые образуют геометрическую прогрессию, и её сумма даст точное значение исходной дроби.
Ответ: 3/11. Представление периодической дроби суммой удобно тем, что каждый повторяющийся блок даёт очередной член геометрической прогрессии с постоянным отношением.
Применяют формулу суммы при |q| ≥ 1, потому что видят знакомое выражение b₁/(1 − q) и забывают, откуда оно получено. Переход к нему возможен только при стремлении qⁿ к нулю. Проверка перед вычислением проста: найдите модуль знаменателя и убедитесь, что он меньше единицы.
Вместо знаменателя прогрессии иногда находят разность соседних членов. Это происходит из-за смешения геометрической прогрессии с арифметической: у геометрической постоянным является отношение, а у арифметической — разность. Проверьте себя, разделив второй член на первый и сравнив результат с отношением следующих соседних членов.
При отрицательном q могут отбросить знак и получить неверный ответ. Например, для 8, −4, 2, … знаменатель равен −1/2, а не 1/2; он входит в выражение 1 − q. Выпишите отношение соседних членов со знаками и подставьте его в формулу в скобках, если это помогает не ошибиться.
Ещё одна ошибка — считать, что сумма бесконечной прогрессии равна только первому члену. Такое впечатление может возникнуть, когда остальные слагаемые быстро уменьшаются, но они всё равно влияют на результат. Подставьте b₁ и q в формулу: сумма равна b₁/(1 − q), а совпадает с b₁ только в особых случаях.
Для работы с бесконечной прогрессией нужны навыки из предыдущих тем: находить знаменатель по соседним членам, вычислять n-й член и пользоваться формулой конечной суммы. Именно формула Sₙ помогает перейти от суммы первых n слагаемых к пределу при увеличении n. Поэтому полезно сначала уверенно различать геометрическую и арифметическую прогрессии.
Формула бесконечной суммы применяется, когда периодическую десятичную дробь нужно представить обыкновенной дробью. Она также помогает вычислять суммы, в которых каждое следующее слагаемое получается умножением предыдущего на постоянное число с модулем меньше единицы. В таких задачах ключевые шаги одинаковы: найти q, проверить условие и определить первый член.
Что означает «бесконечно убывающая», если члены прогрессии могут быть отрицательными?
Речь не о том, что каждый член обязательно меньше предыдущего, а о том, что члены стремятся к нулю. При отрицательном q знаки чередуются, но абсолютные значения уменьшаются, если |q| < 1.
Почему для существования суммы нужно, чтобы |q| было меньше единицы?
Тогда степени qⁿ стремятся к нулю, а частичные суммы приближаются к одному числу. Если |q| ≥ 1, члены не стремятся к нулю или частичные суммы колеблются, поэтому конечного предела частичных сумм нет.
Можно ли найти сумму прогрессии с отрицательным знаменателем?
Да, если модуль знаменателя меньше единицы. Знаки членов будут чередоваться, но сумма существует и вычисляется по формуле S = b₁/(1 − q), где q сохраняет свой отрицательный знак.
Чем сумма бесконечной прогрессии отличается от суммы первых n членов?
Sₙ — сумма только первых n членов, поэтому она зависит от n. Сумма бесконечной прогрессии — предел этих частичных сумм при n → ∞, если такой предел существует.
Как представить периодическую десятичную дробь как сумму геометрической прогрессии?
Запишите её как сумму слагаемых, соответствующих повторяющимся цифрам: например, 0,272727… = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + … . Это геометрическая прогрессия со знаменателем 0,01, и её сумму можно найти по формуле.
§ 2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
