§ 1. Действительные числа

Определения и обозначения

Действительное число — любое число, которому соответствует точка на числовой прямой. Множество всех действительных чисел обозначают ℝ. Это обозначение помогает говорить сразу о числах, которые можно сравнить и расположить на прямой.

Рациональное число — число, представимое в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 5/8 — такая дробь, а целое число −3 можно записать как −3/1. Определение позволяет проверить, относится ли число к множеству рациональных.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить дробью целых чисел с ненулевым знаменателем. Примеры таких чисел — √2 и π. Понятие нужно, чтобы назвать числа, которые не входят в множество рациональных, но всё равно располагаются на числовой прямой.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — запись, в которой после некоторого разряда снова и снова повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,272727… повторяется группа 27. Такие записи позволяют распознавать рациональные числа, даже если десятичная дробь не заканчивается.

Как это устроено

Рациональные числа включают целые числа и обыкновенные дроби, потому что те можно записать в виде m/n. Конечная десятичная дробь тоже становится обыкновенной дробью: например, 0,4 = 4/10 = 2/5. У периодической дроби повторяющийся блок можно выразить дробью, поэтому она тоже рациональна. Значит, разные привычные записи описывают числа одного множества.

У иррационального числа десятичная запись продолжается без конца и не имеет повторяющегося периода. Если бы запись была конечной или периодической, число можно было бы представить отношением целых чисел. Поэтому, например, √2 нельзя точно записать конечным набором цифр или периодом, а любое конечное приближение к нему остаётся лишь оценкой.

Любое действительное число либо рационально, либо иррационально: третьего варианта здесь нет. Поэтому множество ℝ состоит из рациональных чисел ℚ и действительных чисел, не входящих в ℚ. Это записывают так: ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ); знак ∪ означает объединение множеств. Запись ℝ \ ℚ обозначает все действительные числа, которые не являются рациональными.

Числовая прямая устроена так, что каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, а каждой точке — ровно одно действительное число. Числу сопоставляют его координату, а точку находят на прямой с выбранными началом отсчёта и единичным отрезком. Благодаря такому соответствию можно изображать числа точками и сравнивать их по расположению: правее — значит больше.

Между любыми двумя разными действительными числами найдётся рациональное число и также иррациональное. Например, между 1 и 2 лежит рациональное 3/2 и иррациональное √2. Такие промежуточные числа можно находить, деля отрезок между числами на более мелкие части. Поэтому прямая не состоит из отдельных изолированных точек: действительные числа непрерывно заполняют её.

Рациональные, иррациональные и действительные числа

Сначала по строке о дроби или десятичной записи определите, рационально ли число. Последняя колонка показывает, что рациональные и иррациональные числа вместе составляют действительные. Пользуйтесь признаками аккуратно: бесконечная запись сама по себе ещё не означает иррациональность.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие из чисел −3, 0, 5/8, √7 рациональные, а какие иррациональные. Проверим возможность представить каждое число в виде отношения целых чисел. Для корня отдельно выясним, является ли подкоренное число квадратом целого числа.

1. −3 = −3/1, поэтому это рациональное число.
2. 0 = 0/1, поэтому ноль рационален.
3. 5/8 уже имеет вид дроби целых чисел с ненулевым знаменателем, значит, число рационально.
4. 7 не является квадратом целого числа, поэтому √7 иррационально.

Ответ: рациональные числа — −3, 0 и 5/8; иррациональное — √7. Проверка через дробь подходит для первых трёх чисел. Для √7 важно не забыть, что квадратный корень из полного квадрата может быть целым.

Задача 2. Записать 0,272727… в виде обыкновенной дроби и определить множество числа. Повторяется блок 27, поэтому обозначим число буквой x. Умножение на 100 сдвинет запятую на длину периода и совместит повторяющиеся части.

1. Пусть x = 0,272727… .
2. Тогда 100x = 27,272727… .
3. Вычтем первое равенство из второго: 99x = 27, откуда x = 27/99 = 3/11.

Ответ: 0,272727… = 3/11, число рациональное. После вычитания бесконечные повторяющиеся части сокращаются, поэтому получается обычное уравнение. Дробь 3/11 подтверждает рациональность.

Задача 3. Расположить 1,4; √2; 3/2; π/2 по возрастанию и отметить числа на прямой. Чтобы сравнить записи разных видов, найдём их приближённые значения. Точности до сотых достаточно, так как значения не совпадают и расстояния между ними заметны.

1. 1,4 = 1,40, а √2 ≈ 1,41.
2. 3/2 = 1,5 = 1,50.
3. π/2 ≈ 1,57.
4. Сопоставляем значения и отмечаем их на прямой слева направо в найденном порядке.

Ответ: 1,4 < √2 < 3/2 < π/2. Приближения помогают установить порядок, но не заменяют точные значения √2 и π/2. На числовой прямой первое число будет левее, а последнее — правее остальных.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Её допускают, потому что запись не заканчивается, и не проверяют, повторяются ли цифры. Проверьте наличие периода: у 0,333… он есть, поэтому число рационально; у иррационального числа периода нет.

Ошибка — объявлять иррациональным √n при любом натуральном n. Кажется, что знак корня сам по себе означает невозможность записать число дробью, но √9 = 3. Перед выводом проверьте, не является ли подкоренное число квадратом целого числа.

Ошибка — путать множества рациональных и действительных чисел. Рациональные числа входят в действительные, однако в ℝ есть также иррациональные числа. Проверяйте направление включения на примере: 1/2 — действительное рациональное, а √2 — действительное иррациональное.

Ошибка — принимать приближение за точное значение: например, считать √2 равным 1,41. Конечная запись удобна для вычислений, но отбрасывает дальнейшие цифры. Чтобы проверить себя, сравните точную запись с приближённой и используйте знак ≈, а не знак равенства.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уверенно читать целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, а также отмечать координаты на прямой. Эти знания помогают проверять, можно ли представить число отношением целых чисел. Различие рациональных и иррациональных чисел пригодится при сравнении и преобразовании выражений. Множество действительных чисел станет основой для уравнений, неравенств, функций и числовых промежутков.

Что запомнить

• Каждое рациональное число является действительным.
• Действительные числа делятся на рациональные и иррациональные.
• Рациональное число представимо дробью целых чисел с ненулевым знаменателем.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой.