1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Их множество обозначают N; в некоторых соглашениях к нему относят и 0, поэтому при необходимости это уточняют отдельно. Натуральные числа нужны для счёта и задания количества, но ими нельзя выразить, например, результат 3 − 5.

Целые числа — натуральные числа, противоположные им числа и ноль: …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Их множество обозначают Z. Расширение до целых позволяет записывать разность любых натуральных чисел, не ограничиваясь случаем, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Множество рациональных чисел обозначают Q; к нему относятся целые числа и дроби, например −3 и 2/5. Это определение помогает понять, почему конечные и периодические десятичные дроби рациональны: их можно записать обыкновенной дробью.

Действительные числа — все рациональные и иррациональные числа вместе; множество обозначают R. Иррациональное число нельзя представить отношением целых чисел, например √2 или π. Действительные числа изображают точками числовой прямой, поэтому ими можно описывать и сравнивать величины, которые не выражаются точной дробью.

Как это устроено

Числовые множества расширяют по мере того, как прежних чисел перестаёт хватать для вычислений. В натуральных числах нельзя всегда выполнить вычитание, поэтому добавляют отрицательные числа и получают целые. В целых числах не всякое деление даёт целое, поэтому вводят дроби и переходят к рациональным. Такое расширение не отменяет прежние числа: каждое целое можно записать дробью со знаменателем 1.

Вложенность множеств записывают так: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Знак ⊂ означает, что любое число из меньшего множества входит и в большее, но обратное утверждение неверно: например, 1/2 рационально, но не целое. На каждом следующем уровне появляются числа, которых не было раньше. Поэтому принадлежность числа множеству проверяют по определению, а не по внешнему виду записи.

Рациональные числа имеют конечную или бесконечную периодическую десятичную запись. Например, 0,25 = 1/4, а 0,333… = 1/3. Если десятичная запись бесконечна и не содержит повторяющегося периода, число иррационально; типичные примеры — √2 и π. Бесконечное число знаков после запятой само по себе ещё не доказывает иррациональность: у 1/3 знаков бесконечно много, но они повторяются.

Действительные числа упорядочены: для любых двух разных действительных чисел одно меньше другого. На числовой прямой меньшему числу соответствует точка левее, а большему — правее; расстояние между числами a и b равно |a − b|. Между любыми двумя разными действительными числами найдётся ещё одно, например их среднее (a + b)/2. Поэтому действительные числа позволяют описывать непрерывные величины, а не только отдельные шаги счёта.

Действия с действительными числами подчиняются общим законам. Сложение и умножение коммутативны: a + b = b + a и ab = ba; они также ассоциативны, то есть скобки можно переставлять в сумме и произведении. Умножение распределяется относительно сложения: a(b + c) = ab + ac. У сложения нейтральный элемент 0, у умножения — 1; деление на ноль не определено, потому что не существует числа, произведение которого на ноль равнялось бы ненулевому делимому.

Порядок согласуется со сложением и умножением, но при умножении на отрицательное число направление неравенства меняется. Если a < b, то a + c < b + c; при c > 0 получаем ac < bc, а при c < 0 — ac > bc. Причина смены знака видна на прямой: умножение на отрицательное число отражает её относительно нуля. Это правило необходимо соблюдать при преобразовании неравенств.

Числовые множества и их признаки

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сначала выясните, можно ли записать число целым, затем — отношением целых, а после этого определите, является ли оно иррациональным. Помните, что принадлежность меньшему множеству означает принадлежность и всем более широким множествам. Например, −2 — целое, рациональное и действительное число, но не натуральное.

Разбор задач

Задача. Определите, к каким из множеств N, Z, Q и R относятся числа −3, 0, 2/5, √49 и √7. Считайте, что N = {1, 2, 3, …}, то есть ноль в натуральные числа не входит. Чтобы не пропустить принадлежность более широким множествам, проверяйте множества от узких к широким. Для корней сначала выясните, является ли подкоренное число полным квадратом.

1. Число −3 отрицательное, поэтому оно не натуральное. Оно целое, а значит, рациональное, так как −3 = −3/1; следовательно, оно также действительное.

2. Ноль не входит в N при принятом в условии соглашении, но входит в Z. Его можно записать как 0/1, поэтому 0 рационально и действительно.

3. Дробь 2/5 уже записана как отношение целых чисел с ненулевым знаменателем. Она рациональна и действительна, но не целая и не натуральная.

4. Так как 49 = 7², то √49 = 7. Число 7 натуральное; по вложенности множеств оно также целое, рациональное и действительное.

5. Число 7 не является полным квадратом, поэтому √7 иррационально. Оно не принадлежит Q, но принадлежит R; к N и Z оно тоже не относится.

Ответ: −3 ∈ Z, Q, R; 0 ∈ Z, Q, R; 2/5 ∈ Q, R; √49 ∈ N, Z, Q, R; √7 ∈ R \ Q. При проверке можно дополнительно заменить корень точным значением, если подкоренное число — квадрат целого числа. В этом примере это сразу отличает √49 от √7. Запись принадлежности нескольким вложенным множествам не является противоречием: число может одновременно быть целым, рациональным и действительным.

Типичные ошибки

• Считать, что всякая бесконечная десятичная дробь иррациональна. Ошибка возникает из-за смешения бесконечной записи с отсутствием периода: у 0,333… запись бесконечна, но периодична, а число равно 1/3. Проверяйте, повторяется ли блок цифр, или попробуйте представить число обыкновенной дробью.

• Считать любое число с корнем иррациональным. Знак корня сам по себе этого не гарантирует: √49 = 7 — целое число. Перед выводом проверьте, является ли подкоренное число квадратом; для полного квадрата корень может быть рациональным.

• Путать включение множеств с равенством или считать, что целое число не рационально. Такие выводы появляются, если воспринимать названия множеств как отдельные непересекающиеся классы. Запишите включения N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R и проверьте целое число −2: оно равно −2/1, значит, рационально.

• Делить на ноль или при умножении неравенства на отрицательное число оставлять прежний знак. Первую ошибку допускают, забывая ограничение на знаменатель, вторую — механически перенося правила для положительного множителя. Перед действием проверьте, не равен ли делитель нулю; после умножения на отрицательное число поменяйте направление неравенства.

Связь с другими темами

Числовые множества нужны при решении уравнений и неравенств: ответ проверяют на принадлежность допустимому множеству, а деление требует ненулевого знаменателя. Числовая прямая связывает действительные числа с координатами, расстояниями и промежутками. Свойства сложения и умножения обосновывают преобразования выражений и вынесение общего множителя. Понимание рациональных и иррациональных чисел помогает также осмысленно читать десятичные приближения корней и других величин.

Что запомнить

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; каждое следующее множество включает предыдущее.
• Рациональное число имеет вид m/n, где m и n — целые, n ≠ 0; иррациональное так представить нельзя.
• Рациональная десятичная запись конечна или периодична; иррациональная — бесконечна и непериодична.
• Действительные числа изображаются точками числовой прямой и упорядочены.
• Делить на ноль нельзя; при умножении неравенства на отрицательное число его знак меняют на противоположный.