"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Действительные числа — все числа, с которыми работают на числовой прямой: рациональные и иррациональные. Рациональные числа записываются дробью m/n, а иррациональные такой записи не имеют. У рациональных чисел десятичная запись конечная или периодическая, у иррациональных — бесконечная непериодическая. Понимание этой темы помогает сравнивать числа, отмечать их на прямой и решать уравнения и неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. К рациональным относятся также конечные и периодические десятичные дроби, например 0,125 и 0,(36). Это множество нужно, чтобы объединить разные виды привычных чисел одним признаком.
Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Его десятичная запись бесконечна и непериодична: цифры продолжаются без повторяющегося блока. Такие числа нужны, чтобы описывать, например, длину диагонали квадрата со стороной 1: она равна √2.
Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Всё множество действительных чисел обозначают символом ℝ. Это общее понятие позволяет рассматривать на одной числовой прямой и дроби, и корни, и другие числа.
Числовая прямая — прямая, точки которой взаимно однозначно соответствуют действительным числам. Каждому числу соответствует единственная точка, и каждой точке соответствует единственное число. Благодаря этому вычисления можно связывать с наглядным расположением точек.
Обыкновенные дроби образуют рациональные числа, потому что их числитель и знаменатель являются целыми, а знаменатель не равен нулю. Целое число можно записать как дробь со знаменателем 1, например −4 = −4/1. Натуральные числа входят в целые, а целые и дробные числа вместе входят в рациональные: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.
При делении числителя на знаменатель после запятой появляются остатки. Если деление заканчивается, десятичная запись конечна, например 3/8 = 0,375. Если остаток не исчезает, но возможных остатков конечное число, какой-то остаток повторится, и вслед за ним повторится блок цифр; поэтому запись станет периодической.
Иррациональные числа нельзя получить отношением двух целых чисел. При их делении в десятичной записи не возникает ни конца, ни повторяющегося периода, поэтому цифры продолжаются бесконечно и непериодично. Рациональные и иррациональные числа не пересекаются, а вместе образуют всё множество действительных чисел: ℚ ∪ (иррациональные числа) = ℝ.
На числовой прямой выбирают начало отсчёта 0, единичный отрезок и положительное направление. Число 3 отмечают на третьей единице вправо, а −2 — на двух единицах влево. Если точка одного числа находится правее точки другого, первое число больше; между любыми двумя различными действительными числами есть бесконечно много других.
Иррациональное число обычно отмечают по приближённому значению. Для √2 можно сначала установить 1 < √2 < 2, затем уточнить: 1,4 < √2 < 1,5, далее 1,41 < √2 < 1,42. Последовательное выделение десятых, сотых и следующих разрядов даёт всё более точное значение и позволяет правильно сравнивать числа.
| Признак | Рациональные числа | Иррациональные числа |
|---|---|---|
| Можно ли представить в виде m/n, где m, n — целые и n ≠ 0 | Да | Нет |
| Вид десятичной записи | Конечная или бесконечная периодическая | Бесконечная непериодическая |
| Примеры | −4, 3/7, 0,125, 0,(36) | √2, √3, π |
| Принадлежность множеству действительных чисел | Принадлежат ℝ | Принадлежат ℝ |
Сначала определите, какой признак дан в условии: способ записи или вид десятичного разложения. Затем найдите соответствующую колонку и проверьте пример по её признакам. Периодическая запись не является признаком иррациональности.
Определим, какие из чисел −4, 0, 3/7, 0,125 являются рациональными. Для этого проверим возможность записи каждого числа в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. Конечную десятичную дробь переведём в обыкновенную.
Ответ: все четыре числа рациональны.
Установим, какие из чисел √2, 0,(36), π являются иррациональными. Сравним их с признаками рациональной и иррациональной записи. Нужно не просто увидеть бесконечность записи, а проверить наличие периода или возможность дробного представления.
Ответ: иррациональные числа — √2 и π.
Отметим на прямой числа −√2, 1,4 и √3 и расположим их по возрастанию. Найдём приближённые значения корней, чтобы сравнение стало обычным сравнением десятичных чисел. Получаем −√2 ≈ −1,414 и √3 ≈ 1,732.
Ответ: −√2 < 1,4 < √3.
Считать всякую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Ошибка появляется из-за смешения двух признаков: бесконечная периодическая дробь рациональна. Проверьте, повторяется ли в записи постоянный блок цифр.
Путать периодическую и непериодическую записи. У периодической дроби после некоторого места регулярно повторяются цифры, а у иррационального числа такого блока нет. Для проверки выделите несколько групп цифр и поищите неизменный повтор.
Считать корень иррациональным только по его виду. Не каждый корень даёт иррациональное число: √9 = 3 = 3/1. Сначала выясните, является ли подкоренное число полным квадратом.
Считать, что между соседними целыми числами нет других чисел. Между 2 и 3 находятся, например, 2,5, 2,01 и бесконечно много других действительных чисел. Проверьте себя, записав хотя бы одну дробь между данными целыми.
До изучения действительных чисел нужно уметь работать с целыми и обыкновенными дробями, понимать десятичную запись и сравнивать числа. Эти навыки позволяют распознавать рациональные числа и находить приближения.
Понятие действительного числа понадобится при изучении числовых промежутков, уравнений и неравенств. Оно также используется при построении и исследовании функций, где значения переменной отмечают на координатной прямой.
Соответствие числа и точки связывает алгебру с геометрией. Вычисление задаёт число, а координатная прямая помогает увидеть его положение, сравнить его с другими и оценить расстояние между точками.
Чем действительное число отличается от рационального?
Действительные числа включают два вида чисел: рациональные и иррациональные. Рациональное число можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0.
Почему бесконечная периодическая дробь является рациональной?
У периодической дроби повторяется один и тот же блок цифр, поэтому её можно превратить в обыкновенную дробь. Например, 0,(36) = 36/99 = 4/11.
Как понять, что число иррациональное?
Нужно установить, что его нельзя представить дробью двух целых чисел. В десятичной записи такое число имеет бесконечно много цифр без повторяющегося периода.
Почему √9 — рациональное число, а √2 — иррациональное?
√9 = 3, а число 3 можно записать как 3/1, поэтому оно рациональное. Число √2 нельзя представить дробью целых чисел, его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Как сравнить и отметить на прямой иррациональные числа?
Сначала находят их приближённые значения, например √2 ≈ 1,414. Затем числа сравнивают по этим значениям и отмечают точки с нужной точностью.
§ 10. Множество действительных чисел
