"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Числовое неравенство сравнивает два числа или выражения и показывает, какое из них больше либо меньше. Его свойства помогают преобразовывать сравнения, не теряя их истинности: прибавлять одно и то же число, умножать на положительное или отрицательное число, складывать и при определённых условиях перемножать неравенства. Эти правила нужны для оценки выражений, решения неравенств и доказательства сравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — это сравнение двух чисел или числовых выражений с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Знаки > и < строгие: они означают «больше» и «меньше», но равенство не допускают. Знаки ≥ и ≤ нестрогие: число может быть соответственно больше или равно, меньше или равно другому; это различие помогает точно задавать границы.
Равносильное преобразование неравенства — такое преобразование, после которого остаётся тем же множество значений, удовлетворяющих неравенству. Например, к обеим частям можно прибавить одинаковое число, не меняя решений. Это нужно, чтобы приводить неравенство к более удобному виду и при этом не потерять подходящие значения.
Почленное сложение неравенств — сложение их левых частей между собой и правых частей между собой, если знаки направлены одинаково. Так из a < b и c < d получается a + c < b + d. Правило позволяет объединить два известных сравнения и получить новое.
Почленное умножение неравенств — умножение соответствующих левых и правых частей двух неравенств. Оно даёт верный результат, когда все четыре сравниваемых числа положительны: например, из 0 < a < b и 0 < c < d следует ac < bd. Условие нужно проверять заранее, иначе произведения могут сравниваться иначе.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет направление знака. Если a < b, то на координатной прямой точка a расположена левее точки b. Прибавление числа c сдвигает обе точки на одинаковое расстояние, поэтому a + c остаётся левее b + c. Значит, a + c < b + c, и знак менять не нужно.
Умножение на положительное число сохраняет порядок: положительный множитель растягивает расстояние между числами, но не переставляет их местами. Поэтому из a < b и c > 0 следует ac < bc, а при делении на c знак тоже сохраняется. Отрицательное число меняет направление: при умножении числа переходят на противоположную сторону нуля, и порядок на прямой обращается. Поэтому из a < b и c < 0 следует ac > bc.
При почленном сложении нужны неравенства одинакового направления. Например, из a < b следует, что b − a положительно, и из c < d следует, что d − c положительно. Складывая эти положительные разности, получаем (b + d) − (a + c) > 0, то есть a + c < b + d. Именно поэтому складываются левые части друг с другом и правые части друг с другом.
При почленном умножении сравнивают произведения соответствующих частей, но порядок произведений зависит от знаков множителей. Если 0 < a < b и 0 < c < d, то сначала ac < bc, потому что c положительно. Кроме того, bc < bd, потому что b положительно. Вместе эти сравнения дают ac < bd; если числа не все положительны, такая цепочка может нарушиться.
Свойства можно применять последовательно, каждый раз проверяя условие правила. Например, двойное неравенство сначала умножают на число, учитывая его знак, а затем к каждой части прибавляют одно и то же число. При умножении положительного числа направления сохраняются, при умножении отрицательного оба знака меняются на противоположные. Полученный результат описывает тот же набор возможных значений исходной величины.
| Свойство | Условие | Результат |
|---|---|---|
| Прибавление одного и того же числа к обеим частям | Любое число c | Из a < b следует a + c < b + c |
| Умножение или деление на положительное число | Множитель или делитель положителен | Направление знака сохраняется |
| Умножение или деление на отрицательное число | Множитель или делитель отрицателен | Направление знака меняется на противоположное |
| Почленное сложение неравенств | Неравенства одного направления | Левые и правые части складываются отдельно |
| Почленное умножение неравенств | Все сравниваемые числа положительны | Левые и правые части перемножаются отдельно |
Перед применением правила найди в таблице его условие: особенно внимательно проверь знак числа, на которое умножаешь или делишь. Для сложения сравни направления знаков, а для умножения — положительность всех частей. Затем запиши результат с правильным направлением неравенства.
Условие: известно, что 7 > 3. Сравните 7 − 5 и 3 − 5. Нужно применить свойство прибавления одного и того же числа к обеим частям: вычитание 5 равносильно прибавлению числа −5. Такое преобразование не меняет направления исходного знака.
Ответ: 7 − 5 > 3 − 5.
Условие: известно, что 2 < 5 и 4 < 8. Требуется получить новое неравенство сложением. Оба знака направлены одинаково, поэтому можно сложить левые части и отдельно правые. Смысл правила в том, что положительные разности 5 − 2 и 8 − 4 складываются и дают положительную разность новых частей.
Ответ: 6 < 13.
Условие: 2 < a < 5. Оцените выражение −3a + 4. Сначала нужно получить границы для −3a; поскольку множитель −3 отрицательный, оба знака двойного неравенства обратятся. Затем к каждой части прибавим 4, не меняя направления знаков.
Ответ: −11 < −3a + 4 < −2.
При умножении неравенства на отрицательное число иногда оставляют прежнее направление знака. Так происходит, если забыть, что отрицательное умножение меняет порядок чисел: например, 2 < 5, но −2 > −5. Проверь себя на простых числах и при умножении двойного неравенства не забудь обратить каждый знак.
Другая ошибка — менять знак при прибавлении одного и того же числа к обеим частям. Это правило не требует менять направление, потому что обе сравниваемые величины сдвигаются одинаково. Подставь простой пример, например 2 < 5: после прибавления 3 получится 5 < 8.
Нельзя без проверки почленно складывать неравенства с разными направлениями знаков. Правило требует, чтобы оба сравнения шли в одну сторону, иначе вывод не обоснован; эту ошибку допускают, ориентируясь только на наличие двух неравенств. Перед сложением сравни знаки, а если направления различаются — сначала выясни, можно ли преобразовать условия.
Почленное умножение без проверки положительности частей тоже опасно. При отрицательных числах произведения могут менять порядок, поэтому условие правила нельзя пропускать. Для самопроверки выпиши все четыре числа и убедись, что каждое больше нуля; если это не так, не применяй правило автоматически.
Для работы со свойствами нужно уметь сравнивать числа на координатной прямой и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Это помогает понять, почему при умножении на отрицательное число порядок обращается. Далее свойства используются при решении линейных неравенств и систем неравенств: с их помощью выражение приводят к удобному виду.
Двойные неравенства задают сразу две границы для величины, а оценки числовых выражений показывают, в каком промежутке находится результат. Такие оценки нужны в приближённых вычислениях и доказательствах, когда точное значение выражения находить не требуется. При преобразовании границ важно соблюдать те же правила сложения и умножения.
Почему при умножении неравенства на отрицательное число меняется знак?
При умножении на отрицательное число порядок чисел на координатной прямой меняется на противоположный. Например, из 2 < 5 следует −6 > −15, если обе части умножить на −3.
Нужно ли менять знак неравенства при прибавлении числа к обеим частям?
Нет, направление знака сохраняется. Прибавление одного и того же числа сдвигает оба числа на одинаковое расстояние по прямой и не меняет, какое из них больше.
Можно ли складывать неравенства с разными направлениями знаков?
Правило почленного сложения применяют к неравенствам, направленным в одну сторону. Если направления разные, складывание соответствующих частей само по себе не гарантирует нужного вывода.
При каких условиях можно перемножать два неравенства?
Почленно перемножать неравенства можно, если все сравниваемые числа положительны. Тогда из a < b и c < d следует ac < bd; без положительности множителей такой вывод может быть неверным.
Как преобразовать двойное неравенство, если умножаем его на отрицательное число?
Нужно умножить все три части на это число и обратить оба знака неравенства. Например, из 2 < a < 5 при умножении на −3 получаем −6 > −3a > −15.
§ 11. Свойства числовых неравенств
