§ 12. Функция у - k\х, её свойства и график

Определения и обозначения

Функция обратной пропорциональности — зависимость, заданная формулой y = k/x, где k — ненулевое число. Это означает, что значение y получается делением постоянного числа k на выбранное x. Такая запись позволяет быстро находить значения функции и сравнивать, как меняется y при изменении x. Коэффициент k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности k определяет расположение ветвей графика: при k > 0 они находятся в I и III координатных четвертях, а при k < 0 — во II и IV. Координатная четверть — одна из четырёх частей плоскости, образованных осями x и y. Знак k помогает заранее понять, какие знаки будут у координат точек графика. Поэтому перед построением полезно сначала определить знак коэффициента.

Гипербола — график функции y = k/x, состоящий из двух симметричных ветвей. Ветви не образуют одну линию через начало координат, а располагаются по разные стороны от него. Название графика позволяет отличить его от прямой или параболы. По форме гиперболы и положению её ветвей можно проверить, соответствует ли рисунок формуле.

Область определения функции y = k/x — все действительные числа, кроме нуля. Область определения — это все значения x, которые разрешено подставлять в формулу, а множество значений — все результаты y, которые может получить функция. Ноль для x запрещён, поскольку тогда пришлось бы делить на ноль. Эти ограничения нужно учитывать и при вычислениях, и при построении графика.

Как это устроено

Коэффициент k должен быть ненулевым, потому что иначе числитель исчезнет и формула даст y = 0 для любого x ≠ 0. Это уже постоянная функция, а не обратная пропорциональность с двумя ветвями. Значение x = 0 исключается по другой причине: при подстановке получается дробь с нулём в знаменателе, а такое деление не определено. Поэтому запись y = k/x рассматривают только при k ≠ 0 и x ≠ 0.

Если умножить обе части равенства y = k/x на x, получится xy = k. При фиксированном ненулевом k произведение координат любой точки графика постоянно. Например, когда |x| становится вдвое больше, модуль y становится вдвое меньше, чтобы произведение не изменилось. При приближении x к нулю для сохранения произведения модуль y должен неограниченно увеличиваться, а при росте |x| он уменьшается и приближается к нулю. Поэтому ветви подходят всё ближе к осям, но не достигают их.

Знаки x и y связаны знаком произведения xy = k. Если k положительно, произведение положительное, значит, x и y должны быть оба положительными или оба отрицательными; отсюда ветви в I и III четвертях. Если k отрицательно, один множитель положительный, а другой отрицательный, поэтому точки оказываются во II и IV четвертях. Этот способ не требует строить график и помогает сразу исключить неверные четверти.

При замене x на −x получаем y = k/(−x) = −k/x, то есть значение функции становится противоположным прежнему. Значит, вместе с точкой (x; y) на графике есть точка (−x; −y). Такие точки расположены на одной прямой, проходящей через начало координат, по разные стороны от него на одинаковом расстоянии. Поэтому гипербола симметрична относительно начала координат.

Направление изменения функции зависит от знака k, и его рассматривают отдельно слева и справа от нуля, потому что через x = 0 график не проходит. При k > 0 на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) с ростом x значение y уменьшается: функция убывает. При k < 0 на каждом из этих промежутков с ростом x значение y увеличивается, поэтому функция возрастает. Нельзя объединять два промежутка в один: между ними есть точка, где функция не определена.

Свойства функции y = k/x

Чтобы пользоваться таблицей, сначала посмотрите на знак k: он сразу подскажет четверти и направление изменения функции. Область определения и множество значений одинаково исключают ноль при обоих знаках коэффициента. Монотонность всегда читайте вместе с указанными промежутками, не распространяя её через x = 0.

Разбор задач

Постройте график функции y = 6/x, составив таблицу значений для нескольких x.

Для построения выбираем такие значения x, при которых деление 6/x даёт целые числа. Ноль брать нельзя, а для положительных и отрицательных x получатся точки в разных четвертях. Затем отметим найденные пары координат и проведём плавные ветви, не соединяя их с осями.

1. Возьмём x = −6, −3, −2, 2, 3, 6. Эти значения удобны, потому что 6 делится на каждое из них без остатка.
2. Вычислим y: при x = −6 получаем −1, при −3 — −2, при −2 — −3; при x = 2 получаем 3, при 3 — 2, при 6 — 1.
3. Отметим точки (−6; −1), (−3; −2), (−2; −3), (2; 3), (3; 2), (6; 1). Так как k = 6 > 0, проверяем, что точки находятся в I и III четвертях.
4. Проведём через точки две плавные ветви. Чем ближе выбранное x к нулю, тем дальше соответствующая точка от оси x.

Ответ: график — гипербола с ветвями в I и III четвертях, проходящая через указанные точки.

Определите, принадлежит ли точка A(−3; 2) графику функции y = −6/x.

Точка принадлежит графику, если её координаты одновременно удовлетворяют уравнению функции. Для проверки достаточно подставить абсциссу точки в формулу и сравнить полученное значение с её ординатой. Здесь важно не перепутать, что −3 — это x, а 2 — это y.

1. Подставим x = −3 в формулу y = −6/x.
2. Вычислим значение: y = −6/(−3) = 2.
3. Сравним результат с ординатой точки A: она тоже равна 2.

Ответ: точка A(−3; 2) принадлежит графику функции.

График функции y = k/x проходит через точку B(4; −3). Найдите k и определите, в каких четвертях расположены ветви графика.

Если точка лежит на графике, её координаты можно подставить вместо x и y в формулу. Так мы получим уравнение, из которого найдём неизвестный коэффициент. После этого знак k подскажет четверти, не требуя дополнительного построения.

1. Подставим координаты B: −3 = k/4, поскольку x = 4, а y = −3.
2. Умножим обе части равенства на 4: k = −12.
3. Коэффициент отрицательный, поэтому произведение xy отрицательно и знаки координат точек разные.

Ответ: k = −12; ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях.

Типичные ошибки

Включают x = 0 в область определения, забывая, что делить на ноль нельзя. Иногда это происходит потому, что ноль есть среди действительных чисел и его механически оставляют в ответе. Проверка простая: подставьте его в знаменатель формулы y = k/x; если знаменатель становится нулём, это значение нужно исключить.

При k < 0 иногда размещают ветви в I и III четвертях, ориентируясь только на знакомую форму гиперболы. Но в этих четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а их произведение было бы положительным, хотя xy = k < 0. Для проверки выберите любое x и вычислите y: знаки должны оказаться разными.

Ветви гиперболы порой соединяют между собой через оси координат, как будто это одна непрерывная линия. Такая ошибка возникает, если рисовать график по точкам и не учитывать ограничение x ≠ 0. Проверьте, что ни одна точка на графике не имеет x = 0 или y = 0: при k ≠ 0 это невозможно, поэтому ветви не пересекают оси.

Утверждают, что функция убывает или возрастает на всей области определения, не разделяя её на части. Причина в том, что область определения выглядит почти как вся числовая прямая, хотя в ней отсутствует ноль. Проверяйте монотонность отдельно на (−∞; 0) и (0; +∞): именно на каждом из этих промежутков можно говорить о возрастании или убывании.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости, строить график по таблице и находить значение формулы при заданном x. Также пригодятся понятия области определения, множества значений, координатных четвертей и симметрии графика. Если эти навыки знакомы, можно сосредоточиться на том, как знак k меняет вид гиперболы. Позже функция y = k/x поможет изучать преобразования графиков и решать уравнения и системы графическим способом.

Что запомнить

• Функция обратной пропорциональности задаётся формулой y = k/x, где k ≠ 0.
• Область определения и множество значений — все действительные числа, кроме нуля.
• График функции y = k/x называется гиперболой.
• При k > 0 ветви находятся в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.
• Гипербола симметрична относительно начала координат и не пересекает координатные оси.
• При k > 0 функция убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞); при k < 0 возрастает на каждом из них.