§ 13. Свойства квадратного корня

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его обозначают √a, а число a называют подкоренным выражением. Такой корень существует в действительных числах только при a ≥ 0, поэтому √−4 в действительных числах не определён.

Корень произведения выражает правило √(ab) = √a · √b для неотрицательных a и b. Оно позволяет заменить один корень двумя более простыми корнями. Это удобно, когда множители имеют известные квадратные корни.

Корень частного задаётся формулой √(a⁄b) = √a⁄√b при a ≥ 0 и b > 0. Числитель может быть равен нулю, но знаменатель обязан быть положительным. Правило помогает отдельно работать с числителем и знаменателем дроби.

Корень квадрата числа определяется равенством √(a²) = |a| для любого действительного a. Здесь |a| — модуль числа, то есть его расстояние от нуля. Это правило нужно, чтобы правильно упрощать выражения с квадратами переменных.

Как это устроено

Арифметический корень всегда неотрицателен по самому определению: из двух чисел с одинаковым квадратом выбирают неотрицательное. Поэтому √(a²) не может быть отрицательным. Если a ≥ 0, результат равен a, а если a < 0, результат равен −a; в обоих случаях это |a|.

Проверить правило √(ab) = √a · √b можно возведением правой части в квадрат. Получается (√a · √b)² = a · b, то есть число имеет нужный квадрат. Кроме того, √a и √b неотрицательны, поэтому их произведение является именно арифметическим корнем из ab.

Формула корня частного получается аналогично: (√a⁄√b)² = a⁄b. Условие b > 0 гарантирует, что знаменатель √b существует и не равен нулю. Условие a ≥ 0 нужно для существования √a, а тогда и a⁄b неотрицательно.

Чтобы вынести полный квадрат из-под корня, представляют подкоренное выражение как a²b и применяют правило произведения. Получается √(a²b) = √(a²) · √b = |a|√b. Модуль нельзя сразу заменить на a без условия a ≥ 0, иначе при отрицательном значении переменной получится неверный знак.

Для суммы аналогичного правила нет, потому что возведение суммы в квадрат даёт дополнительные слагаемые: (√a + √b)² = a + b + 2√(ab). Например, √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7. Значит, свойства произведения и частного нельзя переносить на сумму.

Свойства арифметического квадратного корня

Сначала найдите подходящую формулу, затем проверьте условия её применения. Особенно внимательно следите за знаком подкоренного выражения и знаменателем. В последней строке таблицы модуль раскрывают только после анализа знака множителя.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите √(16 · 25). Оба множителя неотрицательны, поэтому корень произведения можно разделить. Такой способ заменяет вычисление большого подкоренного числа двумя простыми действиями.

1. Применяем свойство произведения: √(16 · 25) = √16 · √25.
2. Вычисляем корни: √16 = 4 и √25 = 5.
3. Перемножаем результаты: 4 · 5 = 20.

Ответ: 20. Проверка: 20² = 400, а 16 · 25 = 400.

Задача 2. Упростите √72. Нужно выделить из 72 множитель, являющийся полным квадратом. Выбираем наибольший удобный квадрат 36, чтобы оставшийся множитель нельзя было дополнительно упростить.

1. Представляем число как произведение: 72 = 36 · 2.
2. Разделяем корень произведения: √72 = √36 · √2.
3. Извлекаем корень из полного квадрата: √36 = 6, поэтому получаем 6√2.

Ответ: 6√2. Подкоренное число 2 не содержит полного квадрата, значит, выражение упрощено полностью.

Задача 3. Упростите √(x² · (x − 3)) при x ≥ 3. Условие даёт x ≥ 0 и x − 3 ≥ 0, поэтому свойства корня применимы. Оно также позволит раскрыть модуль переменной без знака минус.

1. Выносим квадратный множитель: √(x² · (x − 3)) = √(x²) · √(x − 3).
2. Заменяем √(x²) модулем: |x|√(x − 3).
3. Так как x ≥ 3, число x неотрицательно, значит |x| = x.

Ответ: x√(x − 3). Условие задачи использовано дважды: для существования корня и для раскрытия модуля.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √(a²) = a при любом a. Так делают, забывая, что переменная может быть отрицательной. Проверка проста: подставьте a = −3 и получите √9 = 3, а не −3; верная запись — √(a²) = |a|.

Ошибка: применять √(ab) = √a · √b без проверки множителей. Если один из них отрицателен, соответствующий арифметический корень в действительных числах не существует. Перед преобразованием убедитесь, что a ≥ 0 и b ≥ 0.

Ошибка: использовать свойство частного при нулевом знаменателе или отрицательном подкоренном выражении. При b = 0 дробь не определена, а при a < 0 корень √a не существует в действительных числах. Проверьте условия a ≥ 0 и b > 0.

Ошибка: раскладывать √(a + b) на √a + √b. Такое преобразование разрушает правило, что видно на примере √25 = 5, тогда как √9 + √16 = 7. Свойства корня произведения и частного не распространяются на сумму.

Связь с другими темами

До изучения свойств корня нужно знать его определение, квадраты чисел и свойства модуля. Особенно важно помнить, что модуль всегда неотрицателен. Это позволяет правильно работать с корнем квадрата переменной.

Свойства корня применяются при упрощении выражений, вычислении дробей и выделении полных квадратов. Благодаря им длинные записи заменяются более короткими и удобными. Условия переменных при этом нельзя отделять от самого преобразования.

Эта тема служит основой для действий с иррациональными выражениями и решения уравнений с квадратными корнями. В дальнейшем свойства помогают находить область допустимых значений и проверять полученные ответы. Ошибка в знаке или условии может изменить результат всего решения.

Что запомнить

• Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа.
• √a ≥ 0.
• При a ≥ 0 и b ≥ 0: √(ab) = √a · √b.
• При a ≥ 0 и b > 0: √(a⁄b) = √a⁄√b.
• Для любого действительного a: √(a²) = |a|.
• Корень суммы не равен сумме корней в общем случае.