"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Действительные числа — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой: рациональные и иррациональные. Рациональные записываются дробью целых чисел, а их десятичная запись конечна или периодична. Иррациональные числа нельзя представить такой дробью: их десятичная запись бесконечна и непериодична. Понимание этих различий помогает сравнивать числа, работать с корнями и находить точные или приближённые ответы в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. К рациональным относятся целые числа: например, 5 = 5/1, а также конечные и периодические десятичные дроби. Такая запись помогает понять, что числа разных привычных видов могут принадлежать одному множеству.
Иррациональное число нельзя представить в виде дроби, у которой числитель и знаменатель — целые числа. Его десятичная запись бесконечна и непериодична: цифры продолжаются без конца и не повторяются постоянно одним и тем же блоком. Это определение позволяет отличить такие числа от рациональных, даже если их десятичные записи похожи.
Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой, а каждой точке — ровно одно действительное число. Поэтому понятие действительных чисел связывает вычисления с измерением длины, температуры и других величин.
Приближённое значение числа — рациональное число, которое близко к заданному числу, но может ему не равняться. Запись √2 ≈ 1,41 означает, что 1,41 используют вместо √2 с указанной или подразумеваемой точностью; знак ≈ читают «приблизительно равно». При округлении оставляют нужное число знаков: например, 2,645… до сотых округляется до 2,65.
Рациональных чисел недостаточно, чтобы описать все точки числовой прямой, потому что некоторые геометрические длины нельзя выразить отношением целых чисел. Например, диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна √2. Это число не является дробью целых чисел, поэтому для описания этой длины нужны иррациональные числа. Так расширение множества чисел помогает точно говорить о величинах, которые возникают в геометрии.
Десятичная запись показывает, к какому виду относится число, потому что у рациональной дроби после деления либо заканчиваются цифры, либо появляется повторяющийся остаток. Из-за повторения остатка цифры начинают периодически повторяться. Поэтому запись рационального числа конечна или периодична, например 0,25 или 0,333… У иррационального числа нет такого повторения, и его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Рациональные и иррациональные числа вместе составляют действительные числа, поскольку точкам числовой прямой соответствуют и дробные значения, и длины вроде √2. На прямой числа располагаются по порядку: чем правее точка, тем больше число. Соответствие «одно число — одна точка» позволяет переводить задачу о числах в задачу о положении на прямой и обратно. Так числовая прямая служит общей моделью для обоих видов чисел.
Чтобы сравнить действительные числа, сначала учитывают их знаки: любое отрицательное число меньше положительного. Если числа записаны десятичными дробями, сравнивают целые части, а затем цифры после запятой слева направо. Корень можно оценить десятичным приближением или возвести сравниваемые неотрицательные числа в квадрат. Если первые найденные цифры совпали, точность приближения нужно увеличить: близкие числа могут различаться в следующих разрядах.
Приближённые значения нужны потому, что бесконечную непериодическую запись нельзя выписать целиком, а в вычислениях обычно достаточно нескольких цифр. Точность выбирают по условию задачи: при измерении до сантиметра не нужны десятые доли миллиметра, а в более точном расчёте дополнительных цифр может потребоваться больше. Округление оставляет заданное число знаков после запятой и учитывает следующую цифру. Если точность важна, её указывают, чтобы было ясно, насколько близок ответ к исходному числу.
| Характеристика | Рациональные числа | Иррациональные числа | Действительные числа |
|---|---|---|---|
| Как задаются | Дробью m/n, где m, n — целые и n ≠ 0 | Не представляются такой дробью | Рациональным или иррациональным числом |
| Вид десятичной записи | Конечная или бесконечная периодическая | Бесконечная непериодическая | Конечная, периодическая или бесконечная непериодическая |
| Примеры | 5; −3/7; 0,2 | √2; √5 | −3/7; 0,2; √2 |
| Место на числовой прямой | Соответствуют точкам прямой | Соответствуют точкам прямой | Заполняют все точки прямой |
Чтобы определить вид числа, сначала проверьте, можно ли записать его дробью целых чисел, а затем посмотрите на десятичную запись. Последняя строка напоминает: рациональные и иррациональные числа не занимают разные прямые, а вместе соответствуют всем её точкам. По примерам в таблице можно проверить, что целые числа тоже рациональны.
Проверим каждое число по определению рационального числа: его нужно представить дробью целых чисел. Число 5 записывается как 5/1, а −3/7 уже имеет нужный вид. Значит, оба числа рациональные.
Число 0,2 — конечная десятичная дробь, и его можно записать как 2/10 = 1/5. Поэтому 0,2 тоже рациональное число. Конечные десятичные дроби всегда можно представить обыкновенной дробью.
Число √2 нельзя представить дробью целых чисел, поэтому оно иррациональное. Здесь важно проверять именно возможность записи в виде дроби, а не наличие знака корня. Например, корень из точного квадрата может оказаться рациональным.
Ответ: рациональные числа — 5, −3/7 и 0,2; иррациональное число — √2.
Для удобного сравнения запишем дробь десятичным числом: 9/4 = 2,25. Число 2,2 можно записать как 2,20. Эти два значения уже легко сравнить по сотым.
Оценим √5: так как 2,2² = 4,84, а 2,3² = 5,29, корень находится между 2,2 и 2,3. Более точное приближение — √5 ≈ 2,236. Оно больше 2,20, но меньше 2,25.
Получаем порядок 2,20 < 2,236 < 2,25. Следовательно, исходные числа нужно расположить как 2,2, затем √5, затем 9/4. Приближение здесь достаточно точное, поскольку числа разделены уже на уровне сотых.
Ответ: 2,2 < √5 < 9/4.
Сначала ограничим корень соседними целыми числами: 2² = 4, а 3² = 9, значит, 2 < √7 < 3. Проверим десятые: 2,6² = 6,76, а 2,7² = 7,29. Поэтому 2,6 < √7 < 2,7.
Проверим соседние сотые около корня: 2,64² = 6,9696, а 2,65² = 7,0225. Так как 6,9696 < 7 < 7,0225, получаем 2,64 < √7 < 2,65. Это уточняет положение числа между сотыми.
Для округления до сотых смотрим, ближе ли корень к 2,64 или к 2,65. Значение √7 примерно равно 2,64575, то есть после сотых следует цифра 5. Поэтому сотые увеличиваем на единицу и записываем приближение 2,65.
Ответ: 2,64 < √7 < 2,65; √7 ≈ 2,65 с точностью до 0,01.
Ошибка — считать любую бесконечную десятичную запись иррациональной. Так думают, потому что бесконечность записи часто связывают только с корнями, но периодическая дробь тоже может продолжаться бесконечно: 0,333… = 1/3. Проверьте, повторяется ли блок цифр; если да, число рациональное.
Ошибка — путать периодическую запись с непериодической и считать, что у иррационального числа обязательно найдётся повторяющийся блок. На деле для иррационального числа десятичная запись бесконечна и непериодична, поэтому нельзя объявлять периодом случайно встретившуюся последовательность цифр. Проверяйте, повторяется ли один и тот же блок постоянно, а не только несколько раз подряд.
Ошибка — сравнивать числа по первым цифрам приближений и сразу делать вывод. Это опасно, если значения близки: например, общие первые разряды могут скрывать различие дальше после запятой. Найдите приближения с точностью, достаточной для сравнения, и уточните их, если нужные цифры совпали.
Ошибка — считать, что любой квадратный корень иррационален. Знак корня сам по себе этого не означает: √9 = 3, а 3 — целое и рациональное число. Проверьте, является ли подкоренное число квадратом целого числа; если да, корень может быть рациональным.
Для работы с действительными числами нужны знания обыкновенных и десятичных дробей, целых чисел и правил сравнения. Например, чтобы проверить рациональность дроби или сравнить числа, важно уверенно переводить запись из одной формы в другую. Дальше действительные числа понадобятся при изучении квадратных корней, приближённых вычислений и решений уравнений. Эти понятия позволят записывать результаты, которые не всегда выражаются целыми числами или простыми дробями.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно записать в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Иррациональное число нельзя представить такой дробью; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Почему число √2 является иррациональным?
Если бы √2 можно было записать дробью целых чисел, то после сокращения дроби её числитель и знаменатель должны были бы оказаться одновременно чётными, что невозможно. Поэтому √2 нельзя представить отношением целых чисел. Это также длина диагонали квадрата со стороной 1.
Может ли бесконечная десятичная дробь быть рациональной?
Да. Если десятичная запись бесконечна, но периодична, число рациональное: например, 0,333… = 1/3. Иррациональная запись тоже бесконечна, но не имеет периода.
Как сравнить иррациональное число с обыкновенной дробью?
Можно представить оба числа десятичными приближениями и сравнить их. Точность нужно увеличивать, пока полученных цифр не хватит для уверенного вывода. Например, √5 ≈ 2,236, а 9/4 = 2,25, значит √5 < 9/4.
Зачем записывать приближённое значение числа и указывать его точность?
Многие иррациональные числа нельзя полностью записать десятичной дробью, поэтому в вычислениях используют близкое рациональное число. Указание точности показывает, насколько результат может отличаться от исходного числа. Например, √7 ≈ 2,65 с точностью до сотых.
§ 4. Действительные числа
