§ 3. Иррациональные числа

Определения и обозначения

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0. Иными словами, никакая обыкновенная дробь с целыми числителем и знаменателем не даст это число точно. Определение помогает отличать иррациональные числа от рациональных не по внешнему виду, а по возможности записать их дробью.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n с целыми m и n, причём n ≠ 0. Его десятичная запись конечна или бесконечна периодична. Это определение объединяет целые числа, обыкновенные дроби и десятичные числа с такими записями в одну группу.

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа вместе. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, а каждой точке — действительное число. Понятие нужно, чтобы описывать числа, которые могут быть координатами точек и значениями величин.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь — запись, которая не заканчивается и в которой никакая группа цифр не повторяется периодически. Например, у записи 0,101001000100001… расстояния между единицами растут, поэтому повторяющегося периода нет. Такое описание позволяет распознавать десятичную запись иррационального числа.

Как это устроено

Десятичная запись рационального числа либо заканчивается, либо после некоторого места повторяет один и тот же блок цифр. Это связано с делением целого числителя на целый знаменатель: возможных остатков при делении конечное число. Если остаток стал нулём, запись закончилась; если остаток повторился, дальше повторятся и цифры. Поэтому бесконечная периодическая запись не делает число иррациональным.

Дробь m/n задаёт рациональное число прямо по определению: в ней числитель и знаменатель целые, а знаменатель не равен нулю. Конечную десятичную дробь тоже можно превратить в такую дробь: например, 0,25 = 25/100 = 1/4. Знаменатель сначала равен степени десяти, потому что число знаков после запятой показывает, на сколько разрядов делится целое число. Затем дробь при необходимости сокращают.

Иррациональные числа нужны, когда длина или другая величина не выражается отношением целых чисел. Например, у единичного квадрата стороны длиной 1, а квадрат его диагонали по теореме Пифагора равен 1² + 1² = 2. Значит, диагональ равна √2. Если бы эту длину можно было задать рациональным числом, существовала бы дробь, квадрат которой равен 2, но такого рационального числа нет.

Докажем иррациональность √2 от противного: предположим, что √2 = m/n, где дробь несократима, m и n — целые числа, n ≠ 0. После возведения обеих частей в квадрат получим m² = 2n², поэтому m² чётно и m тоже чётно. Запишем m = 2k; тогда 4k² = 2n², откуда n² = 2k², значит, n также чётно. Но если m и n оба чётные, дробь можно сократить на 2, а это противоречит её несократимости.

Рациональные и иррациональные числа вместе составляют действительные числа. На числовой прямой нет промежутков, которые не соответствовали бы действительному числу: рациональные числа расположены рядом с иррациональными, и наоборот. Например, √2 находится между 1 и 2, хотя не совпадает ни с одной рациональной точкой точно. Его положение можно приближать десятичными числами, но приближение не становится самим числом.

Рациональные и иррациональные числа

Сначала проверьте, можно ли представить число дробью с целыми числителем и знаменателем. Если запись десятичная, выясните, заканчивается ли она или становится периодической. Помните, что сама запись под корнем ещё не означает иррациональность: например, √9 — рациональное число.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие из чисел 3/5, −7, 0,25 и √2 рациональны, а какие иррациональны. Применим определение: достаточно установить, можно ли каждое число записать дробью с целыми числителем и знаменателем. Целое число можно представить дробью со знаменателем 1, а конечную десятичную дробь — дробью со знаменателем, равным степени десяти.

1. Число 3/5 уже записано как отношение целых чисел, поэтому оно рационально.
2. Число −7 = −7/1, значит, оно рационально.
3. Число 0,25 = 25/100 = 1/4, поэтому оно тоже рационально.
4. Для √2 выше доказано, что его нельзя представить обыкновенной дробью, следовательно, оно иррационально.

Ответ: 3/5, −7 и 0,25 — рациональные числа; √2 — иррациональное.

Задача 2. Определить, рационально ли число 0,101001000100001… . Сначала посмотрим не только на то, что запись бесконечна, но и на повторение её цифр. Между единицами располагается всё больше нулей, поэтому невозможно выделить блок, который затем повторялся бы без изменений.

1. Запись не заканчивается, значит, десятичная дробь бесконечная.
2. Количество нулей между соседними единицами растёт, поэтому постоянного периода нет.
3. Бесконечная непериодическая десятичная запись соответствует иррациональному числу.

Ответ: число иррационально. Одной бесконечности для такого вывода было бы недостаточно — нужно установить отсутствие периода.

Задача 3. Доказать, что √2 — иррациональное число. Предположим противоположное: пусть √2 = m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0, а дробь несократима. Возведение в квадрат позволит связать чётность числителя и знаменателя.

1. Из √2 = m/n получаем 2 = m²/n², то есть m² = 2n². Поэтому m² чётно и m чётно.
2. Пусть m = 2k. Подставляем: 4k² = 2n², значит, n² = 2k². Следовательно, n² и n чётны.
3. И m, и n делятся на 2, поэтому дробь m/n можно сократить. Это противоречит выбору несократимой дроби.

Ответ: предположение о рациональности √2 приводит к противоречию, поэтому √2 иррационально.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Так ошибаются, потому что слово «бесконечное» принимают за достаточный признак, хотя периодическая запись тоже бесконечна. Например, 0,333… = 1/3 — рациональное число. Проверьте, повторяется ли после некоторого места один и тот же блок цифр.

Ошибка: называть √9 иррациональным только из-за знака корня. Корень воспринимают как признак особого, нерационального числа, но √9 = 3, а 3 — целое число. Перед выводом вычислите корень, если подкоренное выражение является квадратом целого числа. Если точное значение рационально, знак корня не меняет этого факта.

Ошибка: в доказательстве иррациональности √2 не указать, что дробь m/n несократима. Без этого утверждение, что числитель и знаменатель оба чётные, не создаёт противоречия: дробь могла быть сокращаемой с самого начала. Выбирайте дробь в несократимом виде, а затем проверьте, приводит ли доказательство к возможности сократить её. Именно это завершает рассуждение от противного.

Ошибка: принимать приближённую десятичную запись иррационального числа за точное значение. Например, 1,414 — округлённое приближение √2, поскольку у √2 после запятой бесконечно много непериодических цифр. Такое приближение удобно для вычислений, но оно не равно исходному числу. Проверяйте, не заменили ли вы точное выражение округлённым без указания приближённости.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями, делимости целых чисел и сокращения дробей. Они помогают переводить записи в дробный вид и доказывать, что числитель или знаменатель чётный. Понятие действительного числа пригодится при изучении числовых промежутков, уравнений и неравенств: их решениями могут быть как рациональные, так и иррациональные числа. Иррациональные значения встречаются при извлечении корней, преобразовании выражений и вычислении значений функций.

Что запомнить

• Иррациональное число нельзя представить дробью m/n с целыми m и n ≠ 0.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Не всякое число под знаком корня иррационально.
• Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел.
• √2 — пример иррационального числа.