§ 5. Первые представления о решении рациональных уравнений

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная входит в рациональные выражения. Рациональными называют выражения, составленные из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Например, ½x + 3 и (x + 1)/(x − 2) — рациональные выражения.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, при которых выражения уравнения имеют смысл. Особенно следят за знаменателями: ни один из них не должен обращаться в ноль. ОДЗ нужно находить, чтобы сразу исключить недопустимые значения.

Корень уравнения — значение переменной из ОДЗ, при котором уравнение превращается в верное равенство. Одного получения числа после вычислений недостаточно: оно должно подходить исходному уравнению. Поэтому корни проверяют подстановкой.

Посторонний корень — значение, появившееся при преобразованиях, но не являющееся корнем исходного уравнения. Чаще всего оно нарушает ОДЗ и обращает знаменатель в ноль. Такой результат нельзя включать в ответ.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что дробь с нулевым знаменателем не существует. Для этого каждый знаменатель приравнивают к нулю и найденные значения исключают. Например, для дробей 1/(x − 2) и 3/(x + 2) получаем x ≠ 2 и x ≠ −2.

Чтобы убрать дроби, находят общий знаменатель всех дробей уравнения. Затем обе части умножают на него, раскрывают скобки и сокращают одинаковые множители. На ОДЗ общий знаменатель не равен нулю, поэтому такое умножение сохраняет равенство и превращает рациональное уравнение в более простое.

Общий знаменатель может зависеть от переменной, и это само по себе не запрещено. Но выражение, на которое умножают, должно быть ненулевым для рассматриваемых значений. Если не учесть ОДЗ, среди решений нового уравнения может оказаться число, при котором исходное умножение было недопустимым.

После избавления от знаменателей решают обычное уравнение: линейное, квадратное или другое знакомое уравнение. Полученные значения называют кандидатами в корни, потому что преобразованная запись могла иметь более широкий набор допустимых значений. Из кандидатов оставляют только числа, принадлежащие ОДЗ.

Окончательную проверку выполняют в исходном уравнении, а не только в преобразованном. Подстановка показывает сразу две вещи: определены ли исходные дроби и получается ли верное равенство. Если хотя бы одно условие нарушено, значение становится посторонним корнем и исключается.

План решения рационального уравнения

Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм: переходить к следующей строке можно после выполнения предыдущей. Если на этапе проверки значение не подходит, его вычёркивают, а не исправляют вычисления задним числом.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 3/x = 6.

Знаменатель содержит переменную, поэтому сначала исключим ноль. После этого можно умножить обе части на x и решить линейное уравнение.

1. ОДЗ: x ≠ 0.
2. Умножаем обе части на x: 3 = 6x.
3. Делим на 6: x = ½.
4. Число ½ принадлежит ОДЗ, поэтому подстановка в исходное уравнение даёт 3/(½) = 6.

Ответ: x = ½.

Задача 2. Решить уравнение 1/(x − 2) = 3/(x + 2).

Здесь два знаменателя, и оба дают ограничения. Их произведение (x − 2)(x + 2) является общим знаменателем и не равно нулю на ОДЗ.

1. ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ −2.
2. Умножаем на (x − 2)(x + 2): x + 2 = 3(x − 2).
3. Раскрываем скобки: x + 2 = 3x − 6, значит 8 = 2x и x = 4.
4. Число 4 не нарушает ОДЗ; проверка даёт 1/2 = 3/6.

Ответ: x = 4.

Задача 3. Решить уравнение 1/(x − 1) = 1/(x + 1) + 1.

После умножения на общий знаменатель появится квадратное уравнение, поэтому особенно важно сохранить ОДЗ. Найденные два кандидата нужно проверить в исходной записи.

1. ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −1.
2. Умножаем на (x − 1)(x + 1): x + 1 = x − 1 + (x − 1)(x + 1).
3. Получаем x + 1 = x − 1 + x² − 1, откуда x² − 3 = 0.
4. Корни квадратного уравнения: x = √3 и x = −√3. Оба значения не равны 1 и −1, а подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство.

Ответ: x = √3; x = −√3.

Типичные ошибки

Не указывают ОДЗ. Ученик сосредотачивается на вычислениях и забывает, что некоторые значения делают дробь бессмысленной. Проверить себя можно так: до умножения выписать все знаменатели и найти значения, при которых они равны нулю.

Умножают на общий знаменатель без проверки. Такое действие допустимо только при ненулевом общем знаменателе. Если ОДЗ уже записана, нужно убедиться, что выбранное выражение не обращается в ноль на разрешённых значениях.

Считают все корни нового уравнения корнями исходного. Преобразованное уравнение могло допустить запрещённое значение. Сверьте каждый результат с ОДЗ и подставьте его в исходную запись.

Проверяют ответ только в преобразованном уравнении. В нём дроби уже могли исчезнуть, поэтому нарушение исходного смысла останется незамеченным. Правильная проверка выполняется именно в первом уравнении.

Связь с другими темами

Для решения рациональных уравнений нужны навыки работы с рациональными выражениями: разложение на множители, сокращение дробей и нахождение нулей знаменателя. Также важно уметь решать линейные и квадратные уравнения, которые появляются после избавления от дробей.

Тема продолжает изучение алгебраических дробей и подготавливает к более сложным рациональным уравнениям и неравенствам. При решении неравенств идея ОДЗ сохраняется, но дополнительно приходится учитывать знаки выражений.

Что запомнить

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Сначала найди ОДЗ исходного уравнения.
• Для избавления от дробей умножь обе части на общий знаменатель.
• Реши уравнение, полученное после преобразования.
• Проверь найденные значения в исходном уравнении.
• В ответ включай только корни, принадлежащие ОДЗ.