"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Алгебраические дроби — это дроби, в числителе и знаменателе которых стоят выражения с переменными. С ними можно умножать, делить и возводить их в натуральную степень по правилам, похожим на правила для обыкновенных дробей. Перед вычислениями полезно разложить многочлены на множители и сократить общие множители. При этом нужно следить, чтобы знаменатели и делитель не обращались в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями; знаменатель не должен быть равен нулю. Например, 3x/(x + 1) — алгебраическая дробь, если x ≠ −1. Это понятие позволяет записывать отношения выражений с переменными и выполнять с ними действия по правилам дробей.
Произведение алгебраических дробей — дробь, полученная умножением числителей и знаменателей. Например, произведение a/b и c/d записывают как ac/bd. Такое определение помогает свести умножение дробей к действиям с их частями, а затем при необходимости упростить ответ.
Обратная дробь получается, если поменять местами числитель и знаменатель исходной дроби; она определена, если исходная дробь не равна нулю. Например, для дроби a/b обратной будет b/a, когда a ≠ 0 и b ≠ 0. Обратная дробь нужна, чтобы заменить деление на умножение.
Степень алгебраической дроби — дробь, у которой числитель и знаменатель возведены в эту степень. Например, (a/b)² = a²/b² при b ≠ 0. Это правило позволяет короче записывать многократное умножение дроби на себя.
Правило умножения дробей следует из свойства частного: произведение дробей равно дроби, в числителе которой стоит произведение числителей, а в знаменателе — произведение знаменателей. Например, (a/b) · (c/d) = ac/bd. Чтобы увидеть причину, представьте каждую дробь как деление: при умножении частных перемножаются делимые и делители. Знаменатели b и d должны быть ненулевыми, иначе исходные дроби не определены.
Перед умножением полезно разложить многочлены на множители, потому что общий множитель может встретиться и сверху, и снизу дроби. Сокращение означает разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число или выражение, поэтому значение дроби не изменится. Например, в дроби 6x/9x можно сократить общий множитель 3x, если x ≠ 0. Слагаемые внутри суммы сокращать нельзя: они не умножают всю дробь как единое целое.
Деление на дробь заменяют умножением на обратную, поскольку умножение на обратное число отменяет деление. Поэтому a/b : c/d = a/b · d/c = ad/bc. Обращают именно делитель c/d, а не дробь, которую делят. Делитель обязан быть ненулевым: если c = 0, его числитель равен нулю, и делить на такую дробь нельзя; знаменатели обеих дробей также не должны быть нулевыми.
При возведении дроби в натуральную степень в эту степень возводят и числитель, и знаменатель: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Это следует из того, что дробь умножают саму на себя n раз, а при каждом умножении числители и знаменатели перемножаются. Например, (x/3)² = x²/9. Знаменатель исходной дроби должен быть отличен от нуля.
Ограничения на переменные определяют по исходному выражению до преобразований. Сначала находят значения, при которых знаменатели обращаются в ноль, а при делении дополнительно проверяют, когда нулю равен делитель. После сокращения выражение может выглядеть определённым при исключённом значении, но это не меняет область допустимых значений исходной записи. Поэтому ограничения нужно сохранить и указать в ответе.
| Действие | Правило | Что учитывать |
|---|---|---|
| Умножение | a/b · c/d = ac/bd | b ≠ 0, d ≠ 0; перед вычислением можно разложить на множители и сократить |
| Деление | a/b : c/d = a/b · d/c = ad/bc | b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0; делитель c/d должен быть ненулевым |
| Возведение в натуральную степень | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | b ≠ 0; степень относится и к числителю, и к знаменателю |
Пользуйтесь таблицей после того, как проверили знаменатели и ограничения на переменные. При умножении и делении попробуйте сначала разложить многочлены на множители, чтобы упростить вычисления. В последней строке показатель степени относится ко всей дроби, а не только к её числителю.
Сначала выпишем ограничения по исходной записи: знаменатели 5y и 9x не должны быть нулевыми. Значит, y ≠ 0 и x ≠ 0. Теперь можно перемножить дроби и сократить общие множители.
Ответ: 4/3, x ≠ 0, y ≠ 0. Ограничения остаются в ответе, хотя переменные после сокращения в дроби уже не видны.
При делении переворачиваем вторую дробь — делитель — и заменяем деление умножением. До преобразований отметим, что x + 2 ≠ 0. Кроме того, делитель не должен быть равен нулю, поэтому его числитель x − 3 тоже не равен нулю.
Ответ: x + 3, x ≠ −2, x ≠ 3.
Сначала проверим знаменатели исходного выражения: a² − 4 и a − 2. Их разложение на множители сразу покажет запрещённые значения. Затем разложим числитель и знаменатель первой дроби и применим правило возведения дроби в квадрат.
Ответ: (a − 2)/(a + 2), a ≠ 2, a ≠ −2. Значение a = 2 запрещено и из-за знаменателя исходного выражения, и из-за знаменателя второй дроби.
Ошибка: сокращать слагаемые, например считать, что в (x + 2)/x можно сократить x. Так поступают, потому что путают слагаемые с множителями всей дроби. Сокращать разрешено только общий множитель числителя и знаменателя, поэтому сначала разложите выражения на множители. Проверка: раскройте скобки после предполагаемого сокращения и убедитесь, что исходное значение дроби не изменилось.
Ошибка: при делении оставить делитель как есть или перевернуть делимую дробь. Часто правило запоминают не полностью и меняют местами не ту дробь. Замените двоеточие умножением и обратите только дробь справа от него. Проверка: умножение на обратную дробь должно дать тот же результат, что и исходное деление.
Ошибка: возвести в степень только числитель или забыть про знаменатель. Это происходит, когда показатель мысленно относят лишь к верхней части записи. Скобки показывают, что степень относится ко всей дроби: (a/b)² = a²/b². Проверка: распишите квадрат как произведение двух одинаковых дробей и перемножьте отдельно числители и знаменатели.
Ошибка: после упрощения забыть ограничения или разрешить значение, при котором исходный знаменатель либо делитель равен нулю. Сокращённая запись может скрыть причину запрета, поэтому её легко упустить. Проверяйте знаменатели и делитель до преобразований, а затем переносите найденные ограничения в ответ. Подстановка запрещённого значения в исходную запись покажет, что она не определена.
Для работы с алгебраическими дробями нужны умения, полученные при изучении обыкновенных дробей: перемножать и делить дроби, применять основное свойство дроби. Эти правила сохраняются, но вместо чисел в числителях и знаменателях могут стоять выражения с переменными. Поэтому к ним добавляется проверка допустимых значений переменных.
Часто перед сокращением приходится раскладывать многочлены на множители. Для этого нужны формулы сокращённого умножения и умение выносить общий множитель за скобки. Также важно уметь решать уравнения вида выражение = 0: это помогает находить значения переменных, при которых знаменатель или делитель обращается в ноль.
Умножение и деление дробей помогают преобразовывать рациональные выражения — выражения, составленные из дробей с переменными. Эти преобразования также используются при решении рациональных уравнений. Найденные ограничения нужно учитывать и при проверке корней уравнения.
Почему при сокращении алгебраической дроби нельзя сокращать слагаемые?
Сокращение означает деление числителя и знаменателя на один и тот же общий множитель. Слагаемые не являются множителями всей дроби: например, в выражении (x + 2)/x нельзя сократить x. Сначала разложите числитель и знаменатель на множители и ищите одинаковые множители.
Как понять, какую дробь нужно перевернуть при делении?
Переворачивают именно дробь, на которую делят, то есть делитель. Затем деление заменяют умножением на полученную обратную дробь. Делимая дробь остаётся без изменений.
Нужно ли указывать ограничения на переменные после сокращения?
Да. Ограничения находят по исходному выражению: знаменатели не должны быть равны нулю, а делитель при делении должен быть ненулевым. Сокращение не делает допустимыми значения, при которых исходное выражение не было определено.
Что делать, если в числителе или знаменателе многочлен?
Попробуйте разложить многочлен на множители: примените формулу сокращённого умножения или вынесите общий множитель. После этого можно перемножить или сократить общие множители. Сокращать отдельные слагаемые нельзя.
Можно ли делить алгебраическую дробь на ноль?
Нет, делить на ноль нельзя. Поэтому при делении нужно исключить значения переменных, при которых дробь-делитель равна нулю. Также её знаменатель должен быть отличен от нуля.
§ 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень
