§ 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями; знаменатель не должен равняться нулю. Например, 3/(x + 1) — алгебраическая дробь, если x ≠ −1. Это условие нужно учитывать до и после преобразований: деление на ноль невозможно.

Общий знаменатель — выражение, которое делится на знаменатель каждой из складываемых или вычитаемых дробей. Например, для дробей 1/x и 1/(2x) общим знаменателем будет 2x. Он нужен, чтобы представить обе дроби долями одного размера.

Дополнительный множитель — выражение, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы привести её к общему знаменателю. Для дроби 1/x при общем знаменателе 2x это множитель 2. Он показывает, во сколько раз исходный знаменатель нужно увеличить, и позволяет изменить дробь, не меняя её значения.

Наименьший общий знаменатель — общий знаменатель, составленный из всех необходимых множителей без лишнего повторения одинаковых. Например, для x(x − 1) и x(x + 1) им будет x(x − 1)(x + 1). Такой знаменатель помогает не раздувать вычисления лишними множителями.

Как это устроено

Напрямую складывать или вычитать дроби с разными знаменателями нельзя: числители относятся к долям разного размера. Например, одна половина и одна треть — не три пятых, хотя числа в числителях и знаменателях можно было бы ошибочно сложить отдельно. Сначала нужно переименовать доли так, чтобы их размер совпал. Для этого обе дроби представляют с одним знаменателем.

Чтобы найти общий знаменатель, разложи исходные знаменатели на множители. Затем включи в общий знаменатель каждый различный множитель в наибольшей степени, которая встречается в разложениях. Так каждый исходный знаменатель будет делителем нового, а лишних повторов не появится. Например, для 2x и 4x² наименьший общий знаменатель — 4x²: он содержит множитель 2 и наибольшую нужную степень x².

Когда общий знаменатель найден, для каждой дроби определи дополнительный множитель: раздели общий знаменатель на её знаменатель. Полученным выражением умножь и числитель, и знаменатель дроби. Это равносильно умножению на дробь, равную единице, поэтому значение дроби сохраняется. Если изменить только знаменатель, равенство нарушится.

После приведения знаменатели уже одинаковые, поэтому складывать или вычитать нужно только числители, а общий знаменатель оставить прежним. При вычитании второй числитель заключают в скобки, чтобы знак минус относился ко всему выражению. Например, (a + b) − (c − d) = a + b − c + d. Раскрытие скобок без этой проверки часто приводит к потере знака.

Полученную дробь упрощают: сначала приводят подобные слагаемые в числителе, а если нужно — раскладывают его на множители. Сокращать можно лишь одинаковые множители сверху и снизу, но не отдельные слагаемые. Кроме того, нули исходных знаменателей остаются запрещёнными значениями переменной, даже если после преобразования соответствующий множитель исчез.

Порядок сложения и вычитания алгебраических дробей

Пользуйся таблицей сверху вниз: каждый следующий этап опирается на предыдущий. Если знаменатели уже одинаковые, сразу переходи к действию с числителями. В конце отдельно проверь допустимые значения переменной.

Разбор задач

1. Выполнить действие: 2/x + 3/(2x)

1. Сначала сравним знаменатели x и 2x. Общий знаменатель — 2x, потому что он делится на оба исходных знаменателя. Для первой дроби дополнительный множитель равен 2, а для второй — 1.

2. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2: 2/x = 4/(2x). Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель. Складываем числители и оставляем общий знаменатель: 4/(2x) + 3/(2x) = 7/(2x).

3. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому x ≠ 0. Числитель и знаменатель результата не имеют общего множителя, который можно сократить. Ответ: 7/(2x), x ≠ 0.

2. Выполнить действие: 1/(x − 2) − 2/(x + 2)

1. Знаменатели — x − 2 и x + 2; общий знаменатель возьмём равным (x − 2)(x + 2). Первый дополнительный множитель — x + 2, второй — x − 2. Значения x = 2 и x = −2 запрещены, поскольку обращают исходный знаменатель в ноль.

2. Приводим дроби: (x + 2)/((x − 2)(x + 2)) − 2(x − 2)/((x − 2)(x + 2)). Теперь записываем разность числителей со скобками: [x + 2 − 2(x − 2)]/((x − 2)(x + 2)). Раскрываем скобки: x + 2 − 2x + 4 = 6 − x.

3. Знаменатель можно записать как x² − 4, но сокращать дробь нельзя: числитель 6 − x не содержит общего множителя со знаменателем. Ответ: (6 − x)/((x − 2)(x + 2)), x ≠ 2, x ≠ −2.

3. Выполнить действие и упростить: 1/(x² − 1) + 1/(x² + 2x + 1)

1. Разложим знаменатели на множители: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), а x² + 2x + 1 = (x + 1)². Наименьший общий знаменатель — (x − 1)(x + 1)². Исходные знаменатели запрещают значения x = 1 и x = −1.

2. Первой дроби не хватает множителя x + 1, а второй — x − 1. После умножения числителей и знаменателей получаем (x + 1)/((x − 1)(x + 1)²) и (x − 1)/((x − 1)(x + 1)²). Складываем числители: (x + 1) + (x − 1) = 2x.

3. Получаем 2x/((x − 1)(x + 1)²). Сократить дробь нельзя: числитель 2x не содержит множителя x − 1 или x + 1. Ответ: 2x/((x − 1)(x + 1)²), x ≠ 1, x ≠ −1.

Типичные ошибки

Нельзя складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями: например, 1/2 + 1/3 — это не 2/5. Такая ошибка возникает, когда дробь воспринимают как две независимые части, хотя числитель и знаменатель задают одну долю. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, а затем проверь, что в результате он остался неизменным.

Умножать только на знаменатель нельзя: так значение дроби изменится. Ошибку допускают, путая нужное преобразование с простым увеличением знаменателя. Умножай числитель и знаменатель на один и тот же дополнительный множитель; проверить себя можно, записав умножение на дробь, равную единице.

При вычитании легко потерять минус перед вторым числителем. Обычно это происходит, когда минус распределяют только на первое слагаемое или вовсе забывают о нём. Заключи вычитаемый числитель в скобки, раскрой их и проверь: знак каждого его слагаемого должен измениться.

Нельзя сокращать дробь на слагаемое или забывать ограничения на переменную. Сокращают общие множители, а не части суммы, например в выражении (x + 2)/x сократить x нельзя. Проверь разложения числителя и знаменателя на множители, а затем выпиши значения, при которых любой исходный знаменатель обращается в ноль.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся навыки работы с числовыми дробями, разложения многочленов на множители и действий с одночленами и многочленами. Если эти приёмы пока вызывают трудности, повтори их перед решением задач: именно они помогают составить общий знаменатель и верно преобразовать числитель. В дальнейшем сложение и вычитание алгебраических дробей пригодятся при упрощении рациональных выражений и решении рациональных уравнений. Эти действия также используют при преобразовании дробно-рациональных выражений.

Что запомнить

• Перед сложением или вычитанием дробей с разными знаменателями найди общий знаменатель.
• Каждую дробь умножай на дополнительный множитель и в числителе, и в знаменателе.
• После приведения к общему знаменателю складывай или вычитай только числители.
• При вычитании заключай вычитаемый числитель в скобки.
• Сокращай дробь только на общий множитель числителя и знаменателя.
• Записывай ограничения, связанные с нулями исходных знаменателей.