"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по тому же принципу, что и обыкновенные: знаменатель оставляют, а действие выполняют только с числителями. При вычитании числитель второй дроби берут в скобки и меняют знаки всех его слагаемых. После вычислений упрощают числитель, проверяют возможность сокращения и обязательно исключают значения переменных, при которых общий знаменатель равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Например, 3x/(x + 2) — алгебраическая дробь. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому для этой дроби x ≠ −2; проверка знаменателя показывает, при каких значениях выражение имеет смысл.
Общий знаменатель — одинаковое выражение в знаменателях дробей, которые складывают или вычитают. Например, у дробей 3x/(x + 2) и 5/(x + 2) общий знаменатель — x + 2. Если знаменатели уже совпадают, дроби не требуется предварительно приводить друг к другу.
Сумма алгебраических дробей с одинаковым знаменателем — дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен сумме числителей. Так, A/C + B/C = (A + B)/C, если C ≠ 0. Это правило позволяет объединить две дроби в одну и выполнить действия с выражениями в числителе.
Разность алгебраических дробей с одинаковым знаменателем — дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей. Запись A/C − B/C = (A − B)/C верна при C ≠ 0. Она помогает свести вычитание дробей к знакомому вычитанию выражений, особенно внимательно учитывая знаки в скобках.
Представьте дроби с одинаковым знаменателем как части одного целого, разделённого на равные доли. Знаменатель сообщает размер каждой доли, а числитель — сколько таких долей взято. При сложении меняется количество долей, но не их размер, поэтому знаменатель остаётся прежним, а числители складываются.
Это рассуждение даёт правило для алгебраических дробей: сложить числители, записать результат над прежним знаменателем. Например, A/C + B/C = (A + B)/C. При этом C должно быть отлично от нуля, иначе исходные дроби не определены; значения переменных, делающие C равным нулю, исключают.
Вычитание устроено так же: из количества долей первой дроби убирают количество долей второй. Поэтому A/C − B/C = (A − B)/C, а знаменатель сохраняется. Чтобы правильно выполнить вычитание многочлена, запишите его в скобках: знак минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри, а не только первого.
После объединения дробей вычисление не всегда закончено: в числителе могут оказаться подобные слагаемые, которые нужно привести. Затем проверьте, есть ли у всего числителя и знаменателя общий множитель, и только тогда сокращайте дробь. Сокращение не отменяет ограничений исходного выражения: запрещённые значения переменной всё равно остаются запрещёнными.
Если числители — одночлены или многочлены, правила действий с ними не меняются. Сложите коэффициенты подобных слагаемых, а при вычитании сначала раскройте скобки с противоположными знаками. Например, x² + 3x − (2x − 1) + 4 − x превращается в x² + 3x − 2x + 1 + 4 − x; после приведения подобных слагаемых получается x² + 5.
| Действие | Правило | Что сделать с числителем | Знаменатель |
|---|---|---|---|
| Сложение дробей | A/C + B/C = (A + B)/C | Сложить числители | Оставить без изменения |
| Вычитание дробей | A/C − B/C = (A − B)/C | Вычесть второй числитель из первого | Оставить без изменения |
| Вычитание многочлена в числителе | A/C − (B)/C = (A − B)/C | Раскрыть скобки, изменив знаки всех слагаемых B | Оставить без изменения |
| Упрощение результата и ограничения | Привести подобные слагаемые; сократить при наличии общего множителя | Упростить весь числитель | Не забыть исключить значения, при которых знаменатель равен нулю |
Сначала найдите строку, соответствующую действию, и проверьте, совпадают ли знаменатели. Затем работайте только с числителем, а знаменатель перепишите без изменений. В конце отдельно проверьте ограничения и возможность сокращения всей дроби.
Задача 1. Выполнить сложение: 3x/(x + 2) + 5/(x + 2). Знаменатели одинаковы, поэтому складывать их не нужно. Сначала определим допустимые значения: x + 2 ≠ 0, значит, x ≠ −2.
Переписываем общий знаменатель x + 2 один раз, а числители соединяем знаком плюс. Получаем (3x + 5)/(x + 2). Знаменатель не меняется, потому что размер долей в обеих дробях одинаков.
Проверяем числитель: 3x и 5 — не подобные слагаемые, объединить их нельзя. Сокращения тоже нет: общий множитель числителя и знаменателя не выделяется. Условие x ≠ −2 сохраняем.
Ответ: (3x + 5)/(x + 2), x ≠ −2.
Задача 2. Выполнить вычитание: (2a + 1)/(a − 3) − (a − 4)/(a − 3). Знаменатель у дробей одинаковый, поэтому объединяем числители. Сразу отмечаем ограничение: a − 3 ≠ 0, то есть a ≠ 3.
Записываем числитель второй дроби в скобках: ((2a + 1) − (a − 4))/(a − 3). Скобки нужны, чтобы минус относился ко всему вычитаемому выражению. Знаменатель a − 3 оставляем прежним.
Раскрываем скобки: 2a + 1 − a + 4. Знак перед −4 стал плюсом, потому что при вычитании меняются знаки обоих слагаемых второго числителя. Приводим подобные: 2a − a = a и 1 + 4 = 5.
Получаем (a + 5)/(a − 3). Числитель и знаменатель не имеют общего множителя, который можно сократить. Запрещённое значение a = 3 исключаем.
Ответ: (a + 5)/(a − 3), a ≠ 3.
Задача 3. Упростить выражение: (x² + 3x)/(x² − 1) − (2x − 1)/(x² − 1) + (4 − x)/(x² − 1). Знаменатели совпадают, поэтому объединим дроби в одну, сохранив x² − 1. Сначала найдём ограничения: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), значит, x ≠ 1 и x ≠ −1.
Записываем общий числитель: x² + 3x − (2x − 1) + (4 − x). Скобки вокруг второго числителя показывают, что вычитается всё выражение 2x − 1. Последний числитель прибавляется, поэтому перед его скобками стоит плюс.
Раскрываем скобки: x² + 3x − 2x + 1 + 4 − x. При вычитании второго числителя знаки меняются, а при раскрытии скобок после плюса остаются прежними. Это позволяет не потерять знак у числа −1 или слагаемого −x.
Приводим подобные: 3x − 2x − x = 0, а 1 + 4 = 5. Получаем (x² + 5)/(x² − 1). Общего множителя у числителя и знаменателя нет, поэтому сократить дробь нельзя.
Ответ: (x² + 5)/(x² − 1), x ≠ −1, x ≠ 1.
Складывают или вычитают знаменатели. Так делают, перенося действие с числителя на всю дробь, хотя знаменатель задаёт размер долей и уже одинаков. Для проверки сравните свой шаг с правилом: меняется только числитель, а знаменатель переписывается.
При вычитании не меняют знаки всех слагаемых второго числителя. Часто минус относят только к первому слагаемому или не ставят скобки. Запишите вычитаемое в скобках и раскройте их по правилу: перед скобками минус — значит, каждый знак внутри меняется.
Не исключают значения, при которых знаменатель равен нулю. После преобразования выражение может выглядеть обычной дробью, и об ограничениях легко забыть. Подставьте подозрительное значение в исходный знаменатель: если он обращается в ноль, значение недопустимо.
Сокращают отдельные слагаемые числителя со знаменателем. Например, сокращение части суммы не является сокращением дроби: сокращать можно лишь общий множитель всей верхней и всей нижней части. Проверьте, удаётся ли представить числитель и знаменатель произведениями с одинаковым множителем.
Для работы с такими дробями нужны правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями: знаменатель сохраняется, а числители объединяются. Ещё понадобятся раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, особенно если числители содержат многочлены. Навык пригодится при упрощении алгебраических выражений и решении уравнений с дробями. В этих задачах важно следить не только за вычислениями, но и за допустимыми значениями переменных.
Почему знаменатель при сложении дробей не меняется?
Одинаковый знаменатель означает, что обе дроби выражены в одинаковых долях одного и того же целого. Поэтому достаточно сложить или вычесть количество таких долей, то есть числители. Размер каждой доли остаётся прежним.
Нужно ли приводить дроби к общему знаменателю, если знаменатели уже одинаковы?
Нет, общий знаменатель уже есть: он одинаков в обеих дробях. Можно сразу складывать или вычитать числители, сохраняя знаменатель.
Почему при вычитании дробей нужно менять знаки всех слагаемых второго числителя?
Вычитание числителя в скобках означает умножение каждого его слагаемого на −1. Поэтому знак каждого слагаемого меняется на противоположный. Скобки помогают не пропустить ни один знак.
Как определить значения переменной, при которых дробь не существует?
Нужно найти значения переменной, при которых знаменатель становится равен нулю. Решите уравнение «знаменатель = 0» и исключите найденные значения из области допустимых значений дроби.
Когда можно сократить полученную алгебраическую дробь?
Сокращать дробь можно, если числитель и знаменатель имеют общий множитель. Сократить можно только множитель всей верхней и всей нижней части, но не отдельные слагаемые. Ограничения, найденные по исходному знаменателю, сохраняются.
§ 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
