"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Алгебраическая дробь — это отношение двух выражений, в котором знаменатель не равен нулю. Её основное свойство позволяет умножать или делить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение, не меняя значения дроби. Это правило используют для сокращения дробей, разложения выражений на множители и подготовки рациональных выражений к действиям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — это дробь вида A/B, где A и B — алгебраические выражения, а B ≠ 0. Буквы A и B могут обозначать числа, переменные, одночлены или многочлены. Такое обозначение помогает рассуждать сразу о целом классе дробей, а не об одном примере.
Числитель и знаменатель алгебраической дроби — соответственно выражения A и B в записи A/B. Числитель записывают над чертой, знаменатель — под ней. Именно знаменатель определяет, при каких значениях переменной дробь имеет смысл.
Допустимые значения переменной — это значения, при которых знаменатель алгебраической дроби не обращается в ноль. Чтобы их найти, составляют уравнение B = 0 и исключают его решения. Все остальные значения переменной допустимы.
Основное свойство алгебраической дроби утверждает: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, не изменяя значения дроби. Это правило используют, чтобы сокращать дроби и преобразовывать их к более удобному виду. Условие ненулевого множителя обязательно.
Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено. Например, запись 5/0 не обозначает никакого числа: не существует числа, которое при умножении на 0 даст 5. Поэтому в дроби (x + 1)/(x − 2) нужно исключить значение x = 2. Оно называется недопустимым, а условие x ≠ 2 — ограничением на переменную.
Основное свойство следует из умножения дроби на единицу. Если C ≠ 0, то отношение C/C равно 1, поэтому A/B = A/B · C/C = (A·C)/(B·C). Значение дроби не изменилось, потому что мы умножили её на единицу. То же рассуждение объясняет деление числителя и знаменателя на общий ненулевой множитель.
При умножении на многочлен C нужно изменить сразу обе части дроби: A/B = (A·C)/(B·C). Например, дробь 2/(x + 1) можно представить как 2(x − 1)/[(x + 1)(x − 1)], если x ≠ 1 и x ≠ −1. Нельзя умножать только числитель или только знаменатель, поскольку тогда получится уже другая дробь.
Сокращение выполняют, когда числитель и знаменатель представлены как произведения и имеют общий множитель. В дроби (A·C)/(B·C) множитель C убирают, получая A/B, но только при C ≠ 0. После преобразования обязательно сохраняют ограничения исходной дроби. Это нужно потому, что сокращённая запись иногда существует при таком значении, при котором исходная дробь не определена.
Таблица показывает, какое преобразование выполняется и при каких условиях оно сохраняет значение дроби. Перед применением правила сначала проверьте знаменатель и множитель, на который выполняется умножение или деление. Отдельно выписанные ограничения помогают не потерять недопустимые значения.
| Преобразование | Запись | Условие | Результат |
|---|---|---|---|
| Умножение числителя и знаменателя на выражение | A/B = (A·C)/(B·C) | C ≠ 0 и B ≠ 0 | Значение дроби не изменяется |
| Деление числителя и знаменателя на общий множитель | (A·C)/(B·C) = A/B | C ≠ 0 и B ≠ 0 | Происходит сокращение дроби |
| Нахождение допустимых значений | B ≠ 0 | Все корни уравнения B = 0 исключаются | Получаются ограничения на переменную |
Задача 1. Докажите, что при x ≠ 0 дробь (3x²)/(6x) равна x/2. Сначала нужно увидеть общий множитель x в числителе и знаменателе. Условие x ≠ 0 разрешает разделить обе части дроби на этот множитель.
Ответ: (3x²)/(6x) = x/2 при x ≠ 0. Ограничение взято из исходного знаменателя 6x, а не из сокращённой дроби. При x = 0 исходная дробь не определена.
Задача 2. Сократите дробь (x² − 9)/(x + 3) и укажите допустимые значения переменной. Ограничение нужно найти до сокращения, потому что исходный знаменатель равен нулю при x = −3. Затем применим формулу разности квадратов.
Ответ: (x² − 9)/(x + 3) = x − 3 при x ≠ −3. Нельзя считать, что после сокращения разрешено подставлять x = −3. Исходная дробь при этом значении по-прежнему не имеет смысла.
Задача 3. Приведите дробь (2x − 4)/(x² − 4x + 4) к виду без общего множителя и укажите область допустимых значений. Сначала раскладываем числитель и знаменатель, чтобы увидеть одинаковый множитель. Отдельно проверяем исходный знаменатель, так как именно он задаёт ограничения.
Ответ: 2/(x − 2), ОДЗ: x ≠ 2. Сокращение допустимо только при x − 2 ≠ 0. Хотя итоговая запись выглядит проще, ограничение исходной дроби сохраняется.
Сокращение отдельных слагаемых — ошибка, потому что сокращать можно только множители произведения. Например, в дроби (x + 2)/x нельзя убрать x из одного слагаемого. Проверьте себя: сначала разложите числитель и знаменатель на множители и ищите общий множитель целиком.
Игнорирование нулевого знаменателя приводит к значениям, при которых дробь не существует. Так бывает, если ученик сразу подставляет число в сокращённую запись. Сначала решите уравнение, приравняв исходный знаменатель к нулю, и запишите ограничения.
Иногда сокращают множитель, который может обратиться в ноль, но не указывают исключаемое значение. Например, сокращение x + 3 требует условия x ≠ −3. После каждого сокращения спросите себя, при каких значениях этот множитель равен нулю.
Нельзя умножить только числитель или только знаменатель на выражение. Такое действие меняет значение дроби, поскольку основное свойство требует одинакового ненулевого множителя в обеих частях. Проверьте, появились ли множитель C и множитель в знаменателе одновременно.
Для этой темы нужны навыки работы с обыкновенными дробями, знание их основного свойства и умение раскладывать многочлены на множители. Также пригодится решение простейших уравнений, например уравнений вида x − 5 = 0.
Сокращение алгебраических дробей используется при приведении рациональных выражений к общему знаменателю и выполнении действий с ними. Без разложения на множители часто невозможно увидеть, что именно можно сократить.
Допустимые значения особенно важны при решении рациональных уравнений и преобразовании выражений. Ограничения помогают отличить допустимые корни уравнения от тех, которые появились из-за недопустимых действий.
Почему нельзя допускать равенство знаменателя нулю?
Деление на ноль не имеет смысла: не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевой результат. Поэтому дробь определена только при тех значениях переменной, которые не превращают знаменатель в ноль.
Можно ли сокращать слагаемые, а не множители?
Нет, сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя. Слагаемые связаны знаками сложения или вычитания, поэтому их нельзя сокращать по отдельности.
Почему после сокращения нужно записывать недопустимое значение переменной?
Сокращённая запись может быть определена при более широких значениях переменной, чем исходная дробь. Но преобразование выполнялось для исходной дроби, поэтому её ограничения сохраняются.
Можно ли умножить числитель и знаменатель на выражение, которое обращается в ноль?
Нет, такое выражение должно быть ненулевым. Иначе в новой дроби знаменатель станет нулём, а равенство по основному свойству применять нельзя.
Как понять, что алгебраическая дробь уже несократима?
Нужно разложить числитель и знаменатель на множители и проверить, нет ли у них общего множителя. Если общих множителей, кроме ненулевых числовых, нет, дробь несократима.
§ 2. Основное свойство алгебраической дроби
