§ 1. Основные понятия

Определения и обозначения

Рациональное выражение составляют из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Например, 3x² − 1, 5/(x + 2) и (a − b)³ — рациональные выражения. Понимание этого общего вида помогает определить, какие правила преобразований к выражению применимы.

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами, а знаменатель не равен нулю. В записи (x² + 1)/(x − 4) оба многочлена зависят от переменной x. Такое определение нужно, чтобы отличать дробные выражения с переменными от обычных числовых дробей.

Допустимое значение переменной — это такое значение, при котором выражение имеет смысл. Например, для дроби 1/(x − 3) число 3 недопустимо, потому что знаменатель обращается в ноль. Зная допустимые значения, можно правильно подставлять числа и выполнять преобразования.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — множество всех значений переменной, при которых выражение определено. Для 1/(x − 3) это все числа, кроме 3: x ≠ 3. ОДЗ записывают до решения или преобразования, чтобы не потерять исходные ограничения.

Как это устроено

Целое рациональное выражение не содержит переменной в знаменателе: например, 2x³ − 5x + 1. Дробное рациональное выражение содержит деление на выражение с переменной, например 4/(x + 1). Именно знаменатель создаёт риск деления на ноль, поэтому по виду записи сразу можно понять, понадобится ли проверка ограничений.

Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено. Если числитель и знаменатель одновременно равны нулю, ситуация не меняется: запись 0/0 также не имеет значения. Поэтому корни уравнения «знаменатель равен нулю» всегда исключают из ОДЗ.

Чтобы найти ОДЗ, сначала находят все знаменатели исходного выражения. Каждый из них приравнивают к нулю, решают полученное уравнение, а затем исключают найденные значения из множества действительных чисел. Например, при знаменателе x² − 9 нужно исключить оба корня: x = 3 и x = −3.

Ограничения задаются исходным выражением, а не только его упрощённой формой. При сокращении общий множитель может исчезнуть из записи, но значение, при котором этот множитель обращал исходный знаменатель в ноль, всё равно остаётся запрещённым. Поэтому после преобразования рядом с результатом сохраняют условие ОДЗ.

Иногда удобно представить рациональное выражение одной дробью, чтобы увидеть все знаменатели. Сначала приводят части к общему знаменателю, затем выписывают условие, что этот знаменатель не равен нулю. Такой способ особенно полезен, когда знаменатели встречаются в нескольких слагаемых или имеют сложный вид.

Рациональные выражения и допустимые значения

Сначала определите, есть ли в выражении переменная в знаменателе. Затем выберите строку, похожую на ваш случай, и решите уравнение для знаменателя. В последней строке нужно проверить каждый множитель, потому что любой из них может стать нулём.

Разбор задач

Задача 1

Найдите допустимые значения переменной в выражении (x + 2)/(x − 5). Ограничение может появиться только из знаменателя. Поэтому нужно проверить, при каком x он обращается в ноль.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x − 5 = 0.
2. Решаем уравнение: x = 5.
3. Исключаем это значение, потому что при x = 5 знаменатель равен нулю.

Ответ: x ≠ 5, или ОДЗ: x ∈ R, x ≠ 5. Числитель проверять отдельно не нужно, потому что нулевой числитель сам по себе не нарушает смысл дроби.

Задача 2

Найдите область допустимых значений выражения (x − 1)/(x² − 9). Знаменатель является квадратным трёхчленом, поэтому сначала его удобно разложить на множители. Так будут видны все значения, которые нужно исключить.

1. Разлагаем знаменатель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Приравниваем каждый множитель к нулю: x − 3 = 0 или x + 3 = 0.
3. Получаем x = 3 и x = −3, поэтому оба значения исключаем.

Ответ: ОДЗ: x ≠ 3 и x ≠ −3. Все остальные действительные значения допустимы.

Задача 3

Упростите выражение (x² − 4)/(x − 2) и укажите его область допустимых значений. Сначала нужно разложить числитель, а затем сравнить множители числителя и знаменателя. При этом исходный знаменатель заранее задаёт ограничение.

1. Представляем числитель как разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
2. Получаем дробь ((x − 2)(x + 2))/(x − 2) и сокращаем общий множитель x − 2.
3. Записываем результат x + 2, но сохраняем условие x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2.

Ответ: x + 2, при x ≠ 2. Значение x = 2 нельзя подставлять в исходную дробь, хотя в сокращённой записи запрет уже не виден.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что дробь 0/0 допустима. Нулевой знаменатель запрещён независимо от числителя, потому что деление на ноль не определено. Проверяйте именно знаменатель и подставляйте найденное значение в него.

Ошибка: после сокращения забывать запрет исходной дроби. Сокращение меняет вид записи, но не разрешает подставлять значение, при котором исходный знаменатель был нулевым. Записывайте ОДЗ до сокращения и переносите её в ответ.

Ошибка: исключать только один корень знаменателя. Такое бывает, когда выражение x² − 9 рассматривают как единое целое и не раскладывают его на множители. Разложите знаменатель и проверьте каждый множитель по отдельности.

Ошибка: путать ОДЗ с корнями самого выражения. ОДЗ показывает, где выражение существует, а корни показывают, где его значение равно нулю. Сначала найдите запреты по знаменателю, а затем отдельно решайте уравнение с числителем.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными выражениями нужны действия с многочленами: разложение на множители, сокращение и применение формул сокращённого умножения. Также важно уметь решать простые уравнения, чтобы находить корни знаменателя.

ОДЗ понадобится при сокращении и преобразовании рациональных дробей, а также при решении рациональных уравнений. При переносе и умножении частей уравнения ограничения помогают не включить в ответ значения, для которых исходная запись не имела смысла.

Что запомнить

• Рациональная дробь имеет многочлены в числителе и знаменателе.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Область допустимых значений — все значения переменной, при которых выражение определено.
• Чтобы найти ограничения, решают уравнение «знаменатель равен нулю».
• При преобразовании выражения ограничения исходной дроби сохраняются.