7. Преобразование рациональных выражений

Определения и обозначения

Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий и деления на выражение с переменной. Например, 2/(x − 1) — рациональное выражение, потому что переменная входит в знаменатель. Такие выражения можно упрощать по правилам действий с дробями.

Допустимые значения переменной — значения, при которых все знаменатели рационального выражения отличны от нуля. Например, в выражении 1/(x − 3) нельзя подставить x = 3. Поиск допустимых значений показывает, какие значения разрешено использовать при вычислениях и проверке ответа.

Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Многочлен — сумма одночленов, например x² + 3x; поэтому (x² + 3x)/(x − 2) — рациональная дробь. Это определение помогает понять, какие дроби можно преобразовывать, раскладывая их части на множители.

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель. Например, в дроби 6x/9x можно сократить общий множитель 3x, если x ≠ 0. Сокращение упрощает запись, но не отменяет ограничения, заданные первоначальным знаменателем.

Как это устроено

Сначала находят ограничения на переменную, потому что деление на ноль не определено. Если при преобразовании общий множитель исчезает из знаменателя, исходное выражение всё равно не имело смысла при нулевом значении этого множителя. Поэтому ограничения определяют по исходной записи и переносят в ответ.

Чтобы сократить дробь, числитель и знаменатель удобно разложить на множители. Если, например, числитель равен (x − 2)(x + 2), а знаменатель — x(x − 2), общий множитель x − 2 можно убрать, когда он не равен нулю. Слагаемые сокращать нельзя: в сумме x + 2 нет множителя x, на который можно было бы разделить всю сумму. Сокращение должно делить на одно и то же число или выражение каждую часть числителя и знаменателя.

При умножении рациональных дробей перемножают числители между собой и знаменатели между собой. Это следует из правила умножения обыкновенных дробей, поэтому перед умножением полезно разложить многочлены на множители и посмотреть, можно ли сократить общие множители. Деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю, потому что умножение на обратное число отменяет деление. При этом сам делитель не должен быть равен нулю.

Если знаменатели одинаковые, числители складывают или вычитают, а общий знаменатель оставляют без изменения. При разных знаменателях складывать числители сразу нельзя: части дробей тогда выражены в разных долях целого. Общий знаменатель переводит обе дроби к одинаковым долям, после чего их числители можно объединить. При приведении к нему домножают и числитель, и знаменатель каждой дроби на один и тот же недостающий множитель.

Каждое преобразование должно сохранять значение выражения при всех допустимых значениях переменной. Иногда после сокращения знаменатель становится проще, и прежнее запрещённое значение уже не видно в новой записи. Но упрощение не делает исходное выражение определённым там, где его знаменатель был равен нулю. Поэтому ответ записывают вместе с ограничениями, найденными до преобразований.

Основные действия с рациональными дробями

Пользуйтесь таблицей как планом: сначала определите допустимые значения, затем выберите правило для нужного действия. После вычислений проверьте знаменатели и убедитесь, что ограничения не потерялись при сокращении.

Разбор задач

Сократите дробь (x² − 9)/(x² + 3x)

Сначала найдём, где исходная дробь определена, а затем разложим числитель и знаменатель на множители. Это позволит увидеть общий множитель и сократить его, не потеряв запрещённые значения.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x² + 3x = x(x + 3) = 0. Значит, x ≠ 0 и x ≠ −3.
2. Разлагаем числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Получаем дробь (x − 3)(x + 3)/(x(x + 3)).
3. Сокращаем общий множитель x + 3. Остаётся (x − 3)/x, но найденные ограничения сохраняются.

Ответ: (x − 3)/x, x ≠ 0, x ≠ −3. Значение x = −3 нельзя вернуть в область определения только потому, что множитель x + 3 исчез при сокращении.

Выполните действие 2/(x − 1) + 3/(x + 1)

Знаменатели разные, поэтому сначала приведём дроби к общему знаменателю. Здесь удобно взять произведение (x − 1)(x + 1): оно содержит оба исходных множителя.

1. Находим ограничения: x − 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ 1 и x ≠ −1.
2. Первую дробь домножаем на x + 1, вторую — на x − 1. Получаем 2(x + 1)/((x − 1)(x + 1)) + 3(x − 1)/((x + 1)(x − 1)).
3. Знаменатели теперь одинаковы, поэтому складываем числители: 2(x + 1) + 3(x − 1) = 2x + 2 + 3x − 3 = 5x − 1.

Ответ: (5x − 1)/((x − 1)(x + 1)), x ≠ 1, x ≠ −1. При домножении мы не изменили значения дробей, потому что умножили числитель и знаменатель на одно и то же выражение.

Упростите выражение (x² − 4)/(x² − 2x) : (x + 2)/x

В этой задаче нужно не только выполнить деление, но и проверить, что дробь-делитель не равна нулю. Поэтому сначала выпишем ограничения исходного выражения, затем разложим многочлены и заменим деление умножением на обратную дробь.

1. В знаменателях стоят x² − 2x = x(x − 2) и x, поэтому x ≠ 0 и x ≠ 2. Кроме того, делитель (x + 2)/x не должен быть нулём, значит x + 2 ≠ 0 и x ≠ −2.
2. Разлагаем x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Переписываем действие: ((x − 2)(x + 2))/(x(x − 2)) · x/(x + 2).
3. Сокращаем общие множители x − 2, x и x + 2. Получаем 1, сохраняя все ограничения, найденные для исходного выражения.

Ответ: 1, x ≠ 0, x ≠ 2, x ≠ −2. Хотя после упрощения осталась единица, исходное выражение не определено при перечисленных значениях, а при x = −2 делитель равен нулю.

Типичные ошибки

Сокращают слагаемые в числителе и знаменателе, хотя сокращать можно только общие множители всей дроби. Ошибка возникает, когда сумму принимают за произведение и вычёркивают похожие части. Проверьте себя: разложите числитель и знаменатель на множители и убедитесь, что один и тот же множитель входит в каждый целиком.

После сокращения забывают исключить значения, обращающие исходный знаменатель в ноль. Это происходит потому, что запрещённый множитель исчезает из новой записи. Для проверки выпишите ограничения до преобразований и сравните их с ответом: сокращение не должно добавлять недопустимые значения.

При делении умножают на ту же дробь, а не на обратную. Так можно ошибиться, если механически перенести правило умножения на деление. Поменяйте местами числитель и знаменатель делителя и проверьте, что исходная дробь умножается именно на него в обратном виде.

При приведении к общему знаменателю домножают только знаменатель. Тогда значение дроби меняется, поскольку дробь умножена не на единицу. Проверка простая: каждый раз домножайте числитель и знаменатель на один и тот же недостающий множитель.

Связь с другими темами

Для преобразования дробей пригодятся умения раскладывать многочлены на множители, находить нули выражений и выполнять действия с обыкновенными дробями. Эти навыки помогают определять ограничения и выбирать общий знаменатель. Позже рациональные выражения будут использоваться при решении рациональных уравнений и неравенств. Разложение на множители и поиск общего знаменателя также нужны при изучении дробно-рациональных выражений и функций.

Что запомнить

• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• Ограничения на переменную определяют по исходному выражению.
• Сокращают только общие множители числителя и знаменателя.
• При делении на дробь умножают на обратную ей дробь.
• Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.
• Преобразованное выражение должно совпадать с исходным на всех допустимых значениях.