6. Деление дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — это отношение одного многочлена к другому, например (x + 1)/(x − 2). Многочлен внизу дроби называют знаменателем, и он не должен равняться нулю. Поэтому в примере x ≠ 2: при x = 2 знаменатель обращается в ноль, а дробь не имеет смысла. Это условие помогает понять, при каких значениях переменной выражение вообще можно вычислять.

Обратная дробь получается, если поменять местами числитель и знаменатель: для дроби a/b обратная дробь — b/a. Она существует, только если исходная дробь не равна нулю, то есть a ≠ 0, и её знаменатель b тоже отличен от нуля. Например, для 3/5 обратная дробь — 5/3. Она нужна, чтобы заменить деление умножением.

Деление дробей — действие, при котором делимое умножают на дробь, обратную делителю: a/b : c/d = a/b × d/c. Так можно свести деление к умножению, которое выполняют по знакомому правилу: перемножают числители и знаменатели. Делитель должен быть ненулевым, иначе обратную дробь составить нельзя. Поэтому перед вычислениями проверяют, не обращается ли делитель в ноль.

Допустимые значения переменной — значения, при которых все знаменатели выражения отличны от нуля. Например, для 1/(x − 4) допустимы все значения x, кроме 4. При делении дробей учитывают не только знаменатели исходных дробей, но и условие, что сама дробь-делитель не равна нулю. Эти ограничения записывают до преобразований и сохраняют после упрощения.

Как это устроено

Правило деления следует из смысла частного. Если частное от деления a на b обозначить q, то должно выполняться q × b = a. Чтобы найти q, удобно умножить a на число, обратное b: произведение b и 1/b равно 1, поэтому a × 1/b × b = a. Для дробей роль обратного числа играет дробь с переставленными числителем и знаменателем. Именно поэтому при делении на дробь умножают на обратную ей.

Для алгебраических дробей действуют так же: первую дробь умножают на перевёрнутую вторую, затем отдельно перемножают числители и знаменатели. Например, (a/b) : (c/d) превращается в (a/b) × (d/c) = ad/bc. Удобно сразу разложить многочлены на множители: так проще заметить, что можно сократить. Но формула применима только тогда, когда знаменатели не равны нулю, а делитель не равен нулю.

Ограничения находят до преобразований, потому что исходная дробь не определена при нулевом знаменателе. Кроме того, делитель не может равняться нулю: например, если делитель — дробь с числителем x − 1, нужно исключить x = 1, даже если этот множитель позднее сократится. Иначе в вычислениях появилось бы деление на ноль. Поэтому выпишите условия от каждого знаменателя и отдельно условие ненулевого делителя.

Сокращение возможно, когда числитель и знаменатель представлены как произведения и у них есть одинаковые множители. Например, в дроби x(x + 2)/(x + 2) можно сократить множитель x + 2, если x ≠ −2. Нельзя сокращать одинаковые слагаемые: выражение (x + 2)/x не превращается в 2. Сначала разложите многочлены на множители, а затем сокращайте только целые общие множители.

В сложной дроби числитель или знаменатель могут сами содержать дроби. Если между ними стоит деление, примените правило обратной дроби: например, (a/b)/(c/d) = (a/b) × (d/c). Если внутри числителя или знаменателя есть несколько действий, сначала выполните действия в них, сохраняя ограничения. После преобразования проверьте, что исходные знаменатели и делитель не обращались в ноль.

Деление алгебраических дробей

Сопоставьте ситуацию со строкой таблицы, чтобы не пропустить ни правило, ни ограничения. Ограничения записывают по исходному выражению до сокращения, а после преобразований сверяют с ними результат. При сокращении проверяйте, что вы нашли общий множитель, а не просто одинаковое слагаемое.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 3/4 : 2/5. Здесь делитель — числовая дробь 2/5, а значит, нужно заменить деление умножением на обратную дробь. Обратная дробь к 2/5 — 5/2. Числа в знаменателях ненулевые, и делитель не равен нулю.

1. Запишем деление как умножение: 3/4 × 5/2.
2. Перемножим числители и знаменатели: (3 × 5)/(4 × 2) = 15/8.
3. Проверим, можно ли сократить дробь: у 15 и 8 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: 15/8, или 1 7/8. Делимое 3/4 мы не переворачивали: обратной стала только дробь, на которую делят. Это главный ориентир при применении правила.

Задача 2. Упростите (6x²)/(5y) : (9x)/(10y²), указав ограничения. В знаменателях исходных дробей стоит y и 10y², поэтому y ≠ 0. Кроме того, делитель не должен быть нулём: при y ≠ 0 его числитель 9x не равен нулю только при x ≠ 0. Значит, необходимо учесть оба условия.

1. Запишем ограничения: x ≠ 0, y ≠ 0.
2. Заменим деление умножением на обратную дробь: (6x²)/(5y) × (10y²)/(9x).
3. Разложим числовые части и переменные на множители: (6 × x × x × 10 × y × y)/(5 × y × 9 × x).
4. Сократим общие множители x и y, а также 10/5 и 6/9: получим 4xy/3.

Ответ: 4xy/3 при x ≠ 0, y ≠ 0. Значения x = 0 и y = 0 не добавляются в область допустимых значений после сокращения. Они были запрещены в исходном выражении.

Задача 3. Упростите (x² − 9)/(x² + 5x + 6) : (x − 3)/(x + 2), указав допустимые значения x. Сначала разложим многочлены на множители и проверим исходные знаменатели. Затем отдельно учтём, что дробь-делитель не должна быть нулём. Только после этого можно сокращать.

1. Разложим: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
2. Знаменатель первой дроби требует x ≠ −2 и x ≠ −3. Знаменатель делителя требует x ≠ −2, а его числитель — x ≠ 3.
3. Перевернём делитель и умножим: ((x − 3)(x + 3))/((x + 2)(x + 3)) × (x + 2)/(x − 3).
4. Сократим общие множители x + 3, x + 2 и x − 3. Получим 1.

Ответ: 1 при x ≠ −2, −3, 3. Значение x = −3 исключено из-за исходного знаменателя, а x = 3 — потому что тогда делитель равен нулю. Сокращение множителей не отменяет эти запреты.

Типичные ошибки

• Переворачивают делимое вместо делителя. Так ошибаются, когда помнят слово «обратная», но не проверяют, к какой дроби оно относится. При проверке перепишите действие как умножение и убедитесь, что перевёрнута только дробь справа от знака деления.

• Сокращают отдельные слагаемые в числителе и знаменателе. Например, в выражении (x + 2)/x нельзя убрать одинаковые буквы x: здесь x — часть суммы, а не общий множитель всей суммы. Разложите числитель и знаменатель на множители и сокращайте только одинаковые множители.

• Не проверяют, может ли делитель быть равен нулю. Такую проверку легко пропустить, если знаменатели дробей уже найдены. Для дроби-делителя проверьте и её знаменатель, и числитель: знаменатель должен быть ненулевым, а нулевой числитель означал бы деление на ноль.

• После сокращения забывают ограничения исходного выражения. Кажется, что если запрещённый множитель исчез, то значение снова можно подставить, но исходная дробь при нём всё равно не была определена. Сверьте ответ с условиями, записанными до преобразований, и сохраните все исключённые значения.

Связь с другими темами

Чтобы делить алгебраические дроби, нужно уметь умножать и сокращать обыкновенные и алгебраические дроби. При упрощении также понадобится разложение многочленов на множители: оно показывает, какие части можно сократить. Это связывает тему с формулами сокращённого умножения и разложением на множители. Деление дробей помогает преобразовывать сложные дроби и решать рациональные уравнения, где переменная входит в знаменатели.

Что запомнить

• Чтобы разделить на дробь, умножь на обратную ей дробь.
• Обратная дробь существует только для ненулевой дроби.
• Знаменатель алгебраической дроби не должен равняться нулю.
• Сокращают общие множители, а не слагаемые.
• Ограничения на переменную сохраняют и после сокращения.
• Перед сокращением многочлены раскладывают на множители.