"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Алгебраические дроби умножают так же, как числовые: отдельно перемножают числители и знаменатели. Перед вычислением часто раскладывают многочлены на множители и сокращают общие множители — это упрощает выражение. При возведении дроби в натуральную степень в эту степень возводят и числитель, и знаменатель. Во всех действиях нужно следить, чтобы исходные знаменатели не обращались в нуль: сокращение дроби не отменяет эти ограничения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются выражениями; знаменатель не должен обращаться в нуль. Например, в дроби (x + 1)/(x − 2) нельзя брать x = 2, потому что тогда знаменатель станет нулём. Это определение помогает сразу замечать, какие значения переменной допустимы.
Произведение дробей — дробь, у которой числитель равен произведению числителей множителей, а знаменатель — произведению их знаменателей. Например, (a/b)·(c/d) = ac/bd, если b и d не равны нулю. Такое правило позволяет выполнять умножение и с числами, и с алгебраическими выражениями.
Степень дроби — дробь, в которой и числитель, и знаменатель возведены в заданную степень: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Например, (2/3)³ = 8/27. Это обозначение удобно, когда один и тот же множитель повторяется несколько раз.
Правило умножения дробей связано со смыслом частного: дробь a/b означает число, которое при умножении на b даёт a. Поэтому при перемножении дробей можно сгруппировать числители и знаменатели: (a/b)·(c/d) = (ac)/(bd). Проверить правило помогает пример: (1/2)·(1/3) — это треть от половины, то есть 1/6. Деление на нуль невозможно, поэтому оба знаменателя должны быть отличны от нуля.
Перед умножением алгебраических дробей удобно разложить многочлены на множители. Тогда одинаковые множители сверху и снизу можно сократить, то есть разделить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель. Например, разность квадратов x² − 9 раскладывается в (x − 3)(x + 3), и общий множитель становится виден. Сокращать можно именно множители: сумма x + 2 не является произведением, поэтому отдельную букву x из неё убрать нельзя.
Допустимые значения переменных ищут по знаменателям исходных дробей. Если при каком-то значении знаменатель обращается в нуль, дробь в исходном выражении не определена. Даже если такой множитель затем сократился, исключённое значение остаётся недопустимым: сокращение равносильно преобразованию только там, где делитель не равен нулю. Поэтому ограничения записывают до упрощения или проверяют по первоначальному выражению.
При возведении дроби в натуральную степень повторяется одно и то же умножение. Например, (a/b)³ = (a/b)·(a/b)·(a/b) = a³/b³, поэтому показатель относится и к числителю, и к знаменателю. Если основание отрицательное, знак зависит от числа повторяющихся множителей: при чётном показателе отрицательные знаки попарно дают плюс, а при нечётном один минус остаётся. Знаменатель основания при этом по-прежнему не должен быть нулём.
После умножения или возведения в степень результат можно упростить, разложив выражения на множители и сократив общие множители. Затем проверяют, что знаменатель не равен нулю при допустимых значениях переменных. Такая проверка нужна потому, что в ходе преобразований знаменатель может принять новый вид, а ограничения исходной дроби всё равно сохраняются. Удобно отдельно записать упрощённое выражение и область допустимых значений.
В таблице собраны правила и условия, которые полезно проверять при каждом действии. Сначала найдите нужную строку и убедитесь, что знаменатели допустимы. Если сокращаете дробь, вспомните: общими должны быть множители, а не отдельные слагаемые.
| Действие | Правило | Условия |
|---|---|---|
| Умножение дробей | (a/b)·(c/d) = ac/bd | b ≠ 0, d ≠ 0 |
| Умножение с сокращением | Сначала разложить на множители и сократить общие множители | Сокращают только множители; ограничения исходных знаменателей сохраняются |
| Возведение дроби в натуральную степень | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | b ≠ 0 |
| Знак степени дроби | При чётном n результат неотрицателен; при нечётном сохраняется знак дроби | Учитывать знак основания и чётность n |
Задача 1. Вычислите 3/8 · 4/9. Можно сначала перемножить числители и знаменатели, но здесь удобно сократить общие множители крест-накрест. Это даст меньшие числа для вычисления и не изменит произведение.
Ответ: 1/6. Сокращение было допустимо, потому что мы делили числитель и знаменатель на общие ненулевые множители.
Задача 2. Упростите (x² − 9)/(x + 3) · (x + 3)/(2x), указав допустимые значения x. Сначала найдём ограничения по исходным знаменателям: x + 3 ≠ 0 и 2x ≠ 0. Значит, x ≠ −3 и x ≠ 0; эти значения нужно исключить независимо от дальнейшего сокращения.
Ответ: (x² − 9)/(2x), x ≠ −3, 0. Значение x = −3 исключено, даже несмотря на то, что общий множитель сократился.
Задача 3. Упростите [−2a/(3b)]³ · [9b²/(4a)], указав допустимые значения переменных. Вначале посмотрим на знаменатели: 3b и 4a не должны быть нулевыми, следовательно, a ≠ 0 и b ≠ 0. Теперь возведём первую дробь в степень, следя за тем, чтобы показатель применялся к числителю и знаменателю целиком.
Ответ: −2a²/(3b), a ≠ 0, b ≠ 0. Сокращение не разрешает включать в ответ значения, при которых исходный знаменатель обращался в нуль.
Перемножают числители, но складывают знаменатели, например получают ac/(b + d). Так ошибаются, перенося правило сложения дробей на умножение. Проверьте себя по формуле: при умножении отдельно перемножаются обе пары чисел, поэтому знаменатель равен bd.
Сокращают слагаемые в сумме, например убирают x в выражении (x + 2)/x. Причина ошибки — внешне похожие буквы сверху и снизу принимают за общие множители. Чтобы проверить сокращение, представьте числитель и знаменатель как произведения: общий множитель должен умножать всё выражение, а не быть только частью суммы.
Забывают исключить значения, обращающие исходный знаменатель в нуль. После сокращения такие ограничения могут стать незаметны, и кажется, будто переменная теперь может принимать любое значение. Проверка проста: выпишите знаменатели исходной записи и решите, при каких значениях каждый из них равен нулю.
При возведении дроби в степень возводят только числитель или забывают про знаменатель. Так происходит, если показатель относят лишь к ближайшей части записи. Запишите дробь в скобках и примените правило (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ; затем проверьте знак, учитывая чётность показателя.
Для умножения дробей нужны знания об основном свойстве дроби и умножении чисел: общий множитель можно сократить, разделив на него числитель и знаменатель. Разложение многочлена на множители помогает увидеть, что именно можно сократить в алгебраическом выражении. Эти навыки продолжат использоваться при делении алгебраических дробей, преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений. Умение сохранять ограничения на переменные пригодится во всех этих темах.
Почему при умножении дробей перемножают отдельно числители и знаменатели?
Дробь показывает результат деления числителя на знаменатель. Поэтому при умножении двух дробей можно сгруппировать числители вместе, а знаменатели вместе: (a/b)·(c/d) = ac/bd. При этом оба исходных знаменателя должны быть ненулевыми.
Можно ли сократить слагаемые в числителе и знаменателе?
Нет, сокращают только общие множители числителя и знаменателя. Например, в дроби (x + 2)/x нельзя сократить x, потому что в числителе он является слагаемым, а не множителем всей суммы. Сначала выражение нужно разложить на множители, если это возможно.
Зачем указывать ограничения на переменные, если дробь уже сокращена?
Ограничения определяются знаменателями исходного выражения. Если значение переменной обращало такой знаменатель в нуль, оно недопустимо и после сокращения: сокращение упрощает запись, но не меняет область допустимых значений.
Как возвести отрицательную дробь в степень?
В степень возводят и числитель, и знаменатель, а знак зависит от чётности показателя. При чётной натуральной степени отрицательная дробь даёт положительный результат, при нечётной — отрицательный.
Можно ли сократить дроби до их перемножения?
Да, если разложить числители и знаменатели на множители и найти общие множители у разных дробей. Сокращение до перемножения часто облегчает вычисления. Нужно сохранить ограничения, заданные знаменателями исходных дробей.
5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень
