"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Дроби можно умножать и делить так же, как числа, но в алгебраических выражениях нужно следить за тем, чтобы знаменатели не обращались в ноль. При умножении отдельно перемножают числители и знаменатели, а перед этим часто сокращают общие множители. Деление заменяют умножением на обратную дробь: это позволяет применить знакомое правило произведения. Эти действия помогают упрощать рациональные выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение дробей — результат умножения числителей между собой и знаменателей между собой: a/b · c/d = ac/bd. Например, при умножении 2/3 на 5/7 получаем 10/21. Это правило нужно, чтобы выполнять действия с дробными числами и алгебраическими дробями без перехода к десятичным числам.
Обратная дробь — дробь, полученная перестановкой числителя и знаменателя данной дроби. Для дроби a/b обратной будет b/a, если a и b не равны нулю; произведение дроби и обратной ей равно 1. Обратная дробь помогает заменить деление на дробь умножением, которое выполняется по простому правилу.
Частное дробей — результат деления первой дроби на вторую. Чтобы найти частное, первую дробь умножают на дробь, обратную второй: a/b : c/d = a/b · d/c. Это определение позволяет делить не только числовые, но и алгебраические дроби, если делитель не равен нулю.
Правило умножения дробей сохраняет смысл обычного умножения чисел: числители перемножают отдельно от знаменателей. Дробь показывает, сколько частей выбранного размера взято, поэтому при перемножении долей перемножаются и числа частей, и их размер. Например, одна треть от одной второй равна одной шестой: 1/3 · 1/2 = 1/6. Получившийся результат можно проверить, заменив дроби десятичными числами или рисунком с равными частями.
Общие множители удобно сокращать до перемножения, потому что так числа в вычислениях становятся меньше. Сокращение означает деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число, а значение дроби при этом не меняется. В произведении множители из разных дробей тоже можно сократить: например, 3/8 · 4/9 превращается в 1/2 · 1/3. Так меньше риск ошибиться при умножении больших чисел.
Деление заменяют умножением на обратную дробь, потому что деление отвечает на вопрос, сколько раз делитель содержится в делимом. Умножение на число, обратное делителю, даёт именно такое отношение: например, разделить на 1/3 — значит умножить на 3. Поэтому в записи a/b : c/d первая дробь остаётся на месте, а вторая переворачивается. После замены можно использовать правило умножения дробей.
Делитель должен быть отличен от нуля, потому что деление на ноль не определено: нельзя найти число, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Знаменатели обеих исходных дробей также не могут равняться нулю, иначе сами дроби не существуют. Поэтому в выражении с буквами сначала выписывают значения переменных, запрещённые знаменателями. При делении дополнительно исключают значения, при которых делитель обращается в ноль.
Чтобы умножить или разделить алгебраические дроби, сначала раскладывают многочлены на множители. После этого видны общие множители, которые можно сократить, а оставшиеся перемножить. Например, разность квадратов раскладывается так: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Ограничения при этом определяют по исходной записи и сохраняют, даже если соответствующий множитель сократился.
В таблице собраны правила и условия, которые нужно проверить для каждого действия. При работе с буквами сначала найди ограничения по знаменателям исходных дробей, а при делении проверь ещё и сам делитель. Разложение на множители помогает увидеть, что можно сократить до вычислений.
| Действие | Правило | Ограничения |
|---|---|---|
| Умножение дробей | a/b · c/d = ac/bd | b ≠ 0, d ≠ 0 |
| Умножение алгебраических дробей после разложения на множители | Разложить, сократить общие множители, перемножить оставшиеся | Знаменатели исходных дробей ≠ 0 |
| Деление дробей | a/b : c/d = a/b · d/c | b ≠ 0, d ≠ 0, c ≠ 0 |
| Деление алгебраических дробей после разложения на множители | Заменить деление умножением на обратную дробь, разложить и сократить | Знаменатели исходных дробей ≠ 0; делитель ≠ 0 |
Вычислите произведение 3/8 · 4/9. Здесь можно сразу перемножить все числители и знаменатели, но сначала удобно проверить, есть ли общие множители. Сокращение до умножения уменьшает числа и помогает избежать лишних вычислений.
Ответ: 1/6. Проверка без сокращения даёт 3 · 4/(8 · 9) = 12/72, а после деления числителя и знаменателя на 12 получается та же дробь. Значит, сокращение не изменило значение произведения.
Упростите произведение (x² − 9)/(x + 2) · (x + 2)/(x − 3). Перед сокращением нужно представить многочлен в числителе как произведение множителей. Одновременно отметим ограничения из исходных знаменателей: x + 2 и x − 3 не должны быть равны нулю.
Ответ: x + 3 при x ≠ −2, 3. Хотя после сокращения переменная x − 3 исчезла из записи, значение x = 3 всё равно запрещено: в исходном выражении при нём знаменатель равен нулю. Сокращение упрощает выражение, но не меняет его область допустимых значений.
Упростите частное (a² − 4)/(a² + 3a + 2) : (a − 2)/(a + 1). Здесь сначала заменим деление умножением на обратную дробь, а затем разложим многочлены. Нужно учесть не только ненулевые знаменатели, но и то, что дробь-делитель не должна быть равна нулю.
Ответ: 1 при a ≠ −2, −1, 2. Значение a = 2 нельзя возвращать в область допустимых значений, хотя после сокращения выражение стало равным 1: исходный делитель при a = 2 равен нулю. Ограничения проверяют до упрощения и сохраняют в ответе.
При умножении иногда перемножают числитель первой дроби со знаменателем второй и наоборот. Так делают, перенося на умножение схему, похожую на правило деления, но для произведения числители перемножаются с числителями, а знаменатели — со знаменателями. Чтобы проверить себя, запиши формулу a/b · c/d = ac/bd и отдельно проверь, что в знаменателе стоят именно b и d.
При делении можно забыть перевернуть вторую дробь или перевернуть первую. Причина ошибки — невнимательное чтение порядка дробей в записи частного. Оставь делимое на месте, а обратную дробь запиши только вместо делителя. Проверить действие можно умножением результата на делитель: должно получиться делимое.
Нельзя сокращать отдельные слагаемые числителя и знаменателя, например вычёркивать одинаковые части в выражениях вида (x + 2)/(x + 5). Сокращение работает только для общих множителей всего числителя и всего знаменателя, а слагаемые соединены сложением, а не умножением. Разложи многочлены на множители и сокращай лишь одинаковые множители. Для проверки подставь допустимое значение переменной: неправильное сокращение часто меняет значение выражения.
Если забыть ограничения на переменные, можно включить в ответ значения, при которых исходная дробь не существует. Это особенно легко сделать после сокращения: запрещённый множитель исчезает, и ограничение кажется ненужным. Выпиши отдельно нули знаменателей исходных дробей, а при делении также найди, когда делитель равен нулю. Затем сохрани все найденные запреты в ответе.
Для умножения и деления дробей нужны основное свойство дроби и умение сокращать дроби. В алгебраических выражениях дополнительно пригодится разложение многочленов на множители: без него общие множители могут быть не видны. Эти действия продолжают уже знакомую работу с числами, добавляя необходимость учитывать допустимые значения переменных.
Умножение и деление дробей используют при сложении алгебраических дробей, решении уравнений и преобразовании рациональных выражений. Умение разложить выражение и сократить его помогает сделать вычисления короче. При этом ограничения, полученные из исходной записи, нужны и в дальнейших преобразованиях.
Правило деления связано с понятием обратного числа: число, умноженное на обратное ему, даёт 1. Поэтому деление заменяют умножением на обратное число или дробь. Эта связь объясняет правило, а не просто предлагает запомнить действие с переворачиванием дроби.
Почему при делении дробей нужно переворачивать именно вторую дробь?
Деление на число равносильно умножению на число, обратное делителю. Поэтому первую дробь оставляют без изменений, а делитель заменяют обратной дробью. Например, ½ : ⅓ = ½ · 3 = 3/2.
Можно ли сократить дроби до перемножения?
Да, если числитель одной дроби и знаменатель другой содержат общий множитель. Сократить можно и множители внутри одной дроби. Это упрощает вычисления, но сокращать разрешается только множители, а не части суммы.
Почему нельзя сокращать отдельные слагаемые?
Сокращение основано на делении числителя и знаменателя на один и тот же множитель. Слагаемые не являются множителями всего выражения. Сначала разложи многочлены на множители и только потом ищи общие множители.
Какие ограничения на переменную нужно записывать при преобразовании дробей?
Знаменатели исходных дробей должны быть отличны от нуля. При делении дополнительно требуется, чтобы делитель не был равен нулю. Ограничения записывают по исходному выражению и сохраняют, даже если после сокращения запрещённый множитель исчез.
Что делать, если после разложения на множители одинаковых множителей не видно?
Проверь разложение многочленов и вынеси общий множитель, если он есть. Можно также использовать формулы сокращённого умножения, например разность квадратов. Если общих множителей действительно нет, сокращать нельзя — перемножай оставшиеся множители.
§ 3. Произведение и частное дробей
