"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Функция y = √x каждому неотрицательному числу x сопоставляет его арифметический квадратный корень. Она помогает описывать зависимость одной величины от другой, находить значения по формуле и решать уравнения графически. Её график начинается в точке (0; 0), проходит через точки (1; 1), (4; 2), (9; 3) и поднимается вправо. Чтобы построить его, удобно выбирать для x полные квадраты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = √x каждому неотрицательному значению x ставит в соответствие его арифметический квадратный корень. Например, если x = 9, то y = 3, потому что 3² = 9. Такая запись задаёт правило, по которому каждому допустимому аргументу соответствует одно значение функции. Функцию используют, чтобы исследовать связь между величинами и находить значение одной из них, когда известна другая.
Область определения функции — множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл. В выражении √x под корнем стоит x, поэтому он должен быть неотрицательным: x ≥ 0. Значит, область определения функции y = √x — все числа от нуля и больше. Это условие помогает сразу отбрасывать недопустимые значения при вычислениях и решении уравнений.
График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; √x), где x ≥ 0. В каждой такой точке первая координата — аргумент, а вторая — соответствующее ему значение функции. Например, числу 4 соответствует точка (4; 2). Это определение позволяет строить график по таблице и читать по нему значения функции.
Подкоренное выражение в формуле y = √x — это x, и в действительных числах арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. Поэтому для функции необходимо условие x ≥ 0. Оно сразу задаёт область определения: отрицательные аргументы использовать нельзя, а ноль и положительные числа можно. Это ограничение относится к исходной формуле, а не к способу её изображения.
Чтобы составить таблицу, выбирают несколько разрешённых значений x и вычисляют для каждого y = √x. Удобно брать числа, из которых корень извлекается без остатка: 0, 1, 4, 9, 16. Тогда получаются простые пары чисел, например x = 9 и y = 3. Такие точки легко отметить на координатной плоскости, а по нескольким точкам можно наметить плавную линию графика.
При x = 0 значение функции равно нулю, поэтому график начинается в точке (0; 0). При x ≥ 0 корень тоже неотрицателен, следовательно, точки не попадают ни левее оси y, ни ниже оси x. Например, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, поэтому график проходит через точки (1; 1), (4; 2) и (9; 3). Он расположен в первой четверти и на её границах — положительные x дают положительные y.
Чтобы определить y по графику, находят нужное x на горизонтальной оси, поднимаются от него до линии и считывают высоту точки по вертикальной оси. Если требуется найти x при известном y, действуют наоборот: от значения на оси y проводят горизонталь к графику, а затем опускаются к оси x. Например, y = 3 соответствует точке (9; 3), значит, искомый аргумент равен 9. Для этой функции при каждом неотрицательном y находится ровно один такой x.
Функция возрастает на всей области определения: большему x соответствует больший квадратный корень. Это можно понять по смыслу корня: если числа x₁ и x₂ неотрицательны и x₁ < x₂, то √x₁ < √x₂, иначе при возведении в квадрат получилось бы обратное сравнение исходных чисел. На графике возрастание видно так: при движении вправо линия поднимается. Поэтому одно и то же значение y не может соответствовать двум разным аргументам.
| Свойство | Значение |
|---|---|
| Область определения | x ≥ 0 |
| Множество значений | y ≥ 0 |
| Наименьшее значение | 0, достигается при x = 0 |
| Монотонность | Возрастает на всей области определения |
| Расположение графика | Первая четверть и положительные части осей координат |
Сначала по таблице проверьте, какие x разрешены и какие y могут получиться. Затем используйте строку о монотонности, чтобы понять направление изменения графика. Строка о расположении помогает проверить, правильно ли нанесены точки.
Задача 1. Постройте график функции y = √x, составив таблицу значений для x = 0, 1, 4, 9 и 16. Все выбранные аргументы неотрицательны, поэтому подходят для функции. Чтобы получить координаты точек, достаточно вычислить корень из каждого числа. После нанесения точек их соединяют плавной возрастающей линией.
Ответ: график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4). Этих точек достаточно для наброска графика, но сама линия содержит и точки с другими неотрицательными x. Например, между отмеченными точками график не состоит из отдельных отрезков. Его следует рисовать плавно.
Задача 2. Найдите значение y при x = 6,25 и значение x, при котором y = 3. В первом вопросе аргумент уже известен, поэтому его подставляют в формулу. Во втором известна функция, и нужно подобрать аргумент, корень из которого равен трём. Для проверки во втором случае удобно возвести обе части равенства в квадрат.
Ответ: при x = 6,25 значение y равно 2,5; значению y = 3 соответствует x = 9. Проверка подстановкой важна, когда уравнение преобразуют: она помогает убедиться, что найденное число действительно подходит исходному условию. Здесь оба результата согласуются с формулой. Аргумент 9 допустим, потому что он неотрицателен.
Задача 3. Решите графически уравнение √x = x − 2. Левая и правая части уравнения задают две функции: y = √x и y = x − 2. Их общее значение в точке пересечения означает, что при одной и той же абсциссе обе формулы дают одинаковый результат. Поэтому абсцисса точки пересечения является решением уравнения.
Ответ: x = 4. Графический способ показывает решение по месту пересечения линий, но точность чтения координат зависит от масштаба рисунка. Поэтому найденное значение нужно подставить в исходное уравнение. Проверка подтверждает, что при x = 4 обе части равны двум.
Ошибка: включать в область определения отрицательные x. Её допускают, когда забывают условие существования арифметического квадратного корня в действительных числах. Проверка проста: посмотри на выражение под знаком корня — оно должно быть неотрицательным. Для √x это означает x ≥ 0.
Ошибка: отмечать точки графика с y < 0. Такое бывает, если при построении не проверяют вычисленные значения функции. Но арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √x не может дать отрицательный результат. Проверь каждую точку: её вторая координата должна быть равна неотрицательному корню из первой.
Ошибка: считать, что √x означает два значения, ±√x. Путаница возникает потому, что уравнение z² = x при x > 0 действительно имеет два решения. Однако символ √x обозначает только арифметический, то есть неотрицательный, корень. Чтобы проверить себя, различай формулу функции и уравнение, в котором неизвестное возводится в квадрат.
Ошибка: отражать график функции y = √x симметрично относительно оси y. Так переносят свойство чётных функций, но для симметрии область определения должна содержать вместе с каждым x и число −x. У функции y = √x отрицательные x не допустимы, поэтому такого отражения нет. Проверяй симметрию не по внешнему виду, а по области определения и формуле.
Для работы с функцией нужно знать, что такое арифметический квадратный корень, когда он существует и как извлекать корни из полных квадратов. Также понадобятся понятия функции и аргумента, умение составлять таблицу значений и отмечать точки на координатной плоскости. График y = √x помогает решать некоторые уравнения графически: решения соответствуют абсциссам точек пересечения графиков. Позднее этот график будет полезен при изучении преобразований функций.
Почему функция y = √x не определена при отрицательных x?
В действительных числах арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа. Если x < 0, выражение √x не имеет действительного значения, поэтому такие x не входят в область определения.
Почему график y = √x не продолжается влево от начала координат?
Каждая точка графика должна соответствовать допустимому значению x. Для функции y = √x допустимы только x ≥ 0, поэтому точек графика с отрицательной абсциссой нет.
Чем √x отличается от ±√x?
Запись √x означает арифметический квадратный корень — только неотрицательное число. Знак ± используют, когда перечисляют два решения уравнения вида z² = x при x > 0: z = √x и z = −√x.
Как по графику функции найти x, если известно значение y?
Найдите на вертикальной оси заданное значение y и проведите от него горизонтальную линию до графика. Из точки пересечения опустите перпендикуляр к оси x: полученная абсцисса и будет искомым аргументом.
Как выбрать значения аргумента для удобного построения графика?
Выбирайте неотрицательные x, из которых легко извлечь корень, например полные квадраты: 0, 1, 4, 9, 16. Тогда значения y будут целыми, а точки будет удобно нанести на координатную плоскость.
8. Функция у = — и её график
