1.2. Алгебраические дроби

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — это дробь вида A/B, где A и B — выражения, а B ≠ 0. Выражение A называют числителем, а B — знаменателем. Такая запись показывает, что A делят на B, поэтому знаменатель не может быть нулём. Алгебраические дроби позволяют записывать отношения выражений с переменными и преобразовывать их по знакомым правилам.

Допустимые значения переменной — это значения, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль. Например, в дроби 1/(x − 3) значение x = 3 недопустимо, потому что знаменатель станет равен нулю. Остальные значения можно подставлять, если они не нарушают других ограничений. Поиск таких значений помогает понять, когда дробь вообще имеет смысл.

Равные алгебраические дроби — это дроби, значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменной. Их записи могут выглядеть по-разному, но при разрешённых подстановках результат будет одинаковым. Например, дроби 2/4 и 1/2 равны, потому что после упрощения дают одно и то же число. Это понятие нужно, чтобы проверять и обосновывать преобразования дробей.

Сокращение алгебраической дроби — это деление числителя и знаменателя на общий множитель, отличный от нуля. Например, в дроби 6x/9x общий множитель 3x можно сократить, если x ≠ 0. При этом значение дроби не меняется, но ограничения исходной записи остаются. Сокращение помогает получить более простую форму выражения.

Как это устроено

Дробь A/B выражает деление выражения A на выражение B. Деление можно определить только тогда, когда делитель отличен от нуля: деления на ноль не существует. Поэтому условие B ≠ 0 — не просто правило записи, а требование, чтобы выражение имело значение. Если B зависит от переменной, придётся выяснить, какие её значения нарушают это условие.

Чтобы найти допустимые значения переменной, сначала выпишите знаменатель и приравняйте его к нулю. Решите полученное уравнение: его корни делают знаменатель нулевым и поэтому запрещены. Все остальные значения переменной допустимы, если числитель и другие части выражения не вводят дополнительных ограничений. Такой порядок важен: область допустимых значений находят до преобразований, чтобы позже не забыть ограничения исходной дроби.

Основное свойство дроби следует из обычного деления: если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое число, частное не изменится. Для алгебраической дроби так же можно умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение; деление на такой множитель тоже сохраняет значение. Это свойство используют, чтобы изменить вид дроби или получить нужный знаменатель. Выражение, на которое умножают или делят, должно быть ненулевым при рассматриваемых значениях переменной.

Сокращение — частный случай основного свойства, поэтому сократить можно лишь множители, входящие в произведения числителя и знаменателя. Например, в дроби (x + 2)/x нельзя «сократить» x: в числителе это часть суммы, а не множитель всей суммы. Если числитель и знаменатель записаны как суммы или разности, сначала разложите их на множители, когда это возможно. Так становится видно, есть ли общий множитель, и сокращение не меняет ошибочно слагаемые.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, выбирают выражение, на которое можно домножить знаменатель каждой дроби. Затем каждую дробь расширяют: умножают её числитель и знаменатель на недостающий множитель. Значение каждой дроби при этом сохраняется, потому что числитель и знаменатель умножаются на одно и то же выражение, не равное нулю на допустимых значениях. После этого дроби можно складывать или вычитать, работая с числителями и оставляя общий знаменатель.

Основные сведения об алгебраической дроби

Пользуйтесь таблицей как короткой проверкой порядка действий: сначала определите ограничения, затем выполняйте нужное преобразование. Перед сокращением проверьте, что общий элемент действительно является множителем всей верхней и нижней частей. После любого преобразования сохраняйте ограничения, найденные по исходным знаменателям.

Разбор задач

1. Найти, при каких значениях x дробь (x + 2)/(x − 3) определена

У дроби есть смысл, только если её знаменатель не равен нулю. Поэтому проверяем знаменатель x − 3, а числитель на допустимые значения не влияет. Нужно исключить именно те значения, при которых знаменатель станет нулём.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 3 = 0.
2. Решим уравнение: x = 3. При этом значении знаменатель обращается в ноль.
3. Исключим x = 3; остальные значения переменной допустимы.

Ответ: дробь определена при x ≠ 3.

2. Сократить дробь (x² − 9)/(x² + 3x)

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы увидеть общий множитель. Одновременно учитываем, что исходный знаменатель не должен быть равен нулю. После сокращения это ограничение нельзя убрать: преобразование не разрешает подставлять запрещённое значение.

1. Найдём ограничения: x² + 3x = x(x + 3), поэтому x ≠ 0 и x ≠ −3.
2. Разложим числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а знаменатель уже представлен как x(x + 3).
3. Сократим общий множитель x + 3 и запишем результат (x − 3)/x, сохранив оба ограничения.

Ответ: (x − 3)/x, где x ≠ 0 и x ≠ −3.

3. Привести дроби 1/(x − 2) и 2/(x + 2) к общему знаменателю и сложить

Знаменатели различаются, поэтому для сложения сначала нужен общий знаменатель. Здесь им будет произведение (x − 2)(x + 2). Сразу отметим ограничения обеих исходных дробей, чтобы не допустить нулевого знаменателя.

1. Из условий x − 2 ≠ 0 и x + 2 ≠ 0 получаем x ≠ 2 и x ≠ −2.
2. Первую дробь расширим на x + 2, вторую — на x − 2: получим (x + 2)/((x − 2)(x + 2)) и 2(x − 2)/((x + 2)(x − 2)).
3. Сложим числители: x + 2 + 2(x − 2) = x + 2 + 2x − 4 = 3x − 2.

Ответ: (3x − 2)/((x − 2)(x + 2)), где x ≠ 2 и x ≠ −2.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять значение, которое обращает знаменатель в ноль. Её допускают, если начинают преобразования, не проверив область допустимых значений. Проверка простая: приравняйте исходный знаменатель к нулю и исключите найденные значения до вычислений. После преобразования сравните ограничения с теми, что были у исходной дроби.

Вторая ошибка — пытаться сократить отдельные слагаемые, например x в числителе x + 2 и знаменателе x. Так делают, путая сумму с произведением: x не умножает всё выражение x + 2. Для самопроверки поставьте скобки и выясните, является ли общий элемент множителем всей верхней и нижней частей. Если в части выражения есть сложение или вычитание, сократите только после корректного разложения на множители.

Третья ошибка — сокращать дробь, не разложив числитель и знаменатель на множители. Из-за этого общий множитель может остаться незамеченным или слагаемое ошибочно принимают за множитель. Разложите выражения по формулам или вынесите общий множитель за скобки, а затем проверьте, что одинаковый множитель присутствует и сверху, и снизу. Только такой элемент можно сократить.

Четвёртая ошибка — забывать о запретах, когда после сокращения знаменатель стал проще. Например, множитель, который обращался в ноль, мог исчезнуть из записи, но исходная дробь при этом всё равно не была определена в соответствующем значении. Ошибку предотвращает запись ограничений до преобразования и перенос их в ответ. В конце проверьте, что ни одно ранее запрещённое значение не вернулось в область допустимых значений.

Связь с другими темами

Перед изучением алгебраических дробей полезно уметь выполнять действия с обыкновенными дробями: расширять их, сокращать и приводить к общему знаменателю. Также пригодятся разложение многочленов на множители и решение простейших уравнений, ведь через них находят запрещённые значения. Позже эти навыки понадобятся при преобразовании рациональных выражений, действиях с дробями и решении дробно-рациональных уравнений. Умение следить за допустимыми значениями поможет не потерять решения и не включить в ответ невозможные значения.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
• Допустимые значения переменной определяют по знаменателю.
• Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение.
• Сокращают общие множители, а не слагаемые.
• Перед сокращением полезно разложить числитель и знаменатель на множители.
• При преобразованиях сохраняют ограничения исходной дроби.