1.1. Дробные алгебраические выражения

Определения и обозначения

Дробное алгебраическое выражение — выражение, записанное в виде дроби, числитель или знаменатель которой содержит переменную. Например, (x + 2)/(x − 5) относится к таким выражениям. Переменная может стоять сверху, снизу или в обеих частях дроби. Это определение помогает распознавать выражения, для которых нужно проверять знаменатель.

Алгебраическая дробь — дробь вида A/B, где A и B — алгебраические выражения, а B не равно нулю. Буквами A и B обозначают части дроби, которые могут содержать числа, переменные и действия. Условие B ≠ 0 обязательно, потому что деление на ноль не определено. Оно задаёт, при каких значениях переменных дробь вообще можно использовать.

Область допустимых значений — все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дроби исключают значения, обращающие знаменатель в ноль. Например, для 1/(x − 5) нельзя брать x = 5. Поиск этой области нужен, чтобы не подставлять недопустимые значения и не получать выражение без смысла.

Основное свойство алгебраической дроби: дробь не меняется, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение. Так можно преобразовывать и упрощать дроби, не меняя их значения. Ненулевое условие важно: делить на ноль нельзя. Свойство используют, например, при сокращении общих множителей.

Как это устроено

Чтобы распознать дробное алгебраическое выражение, достаточно проверить, есть ли переменная хотя бы в одной части дроби. Она может находиться в числителе, например x/3, в знаменателе, например 3/x, или в обеих частях, как в (x + 1)/(x − 2). От расположения переменной зависит, какое выражение нужно проверять на ноль: прежде всего знаменатель. Если переменная есть только в числителе, знаменатель всё равно не должен обращаться в ноль, но может быть постоянным ненулевым числом.

Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не имеет результата. Чтобы найти область допустимых значений, записывают уравнение: знаменатель = 0, а затем находят его корни. Корни этого уравнения — запрещённые значения переменной; остальные значения, при которых выражение определено, допустимы. Например, если знаменатель x − 5, уравнение x − 5 = 0 даёт x = 5, поэтому это значение исключают.

Умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение сохраняет значение дроби, поскольку по сути дробь умножают или делят на 1. Например, 2/3 = (2 · 4)/(3 · 4): числитель и знаменатель увеличились одинаково, поэтому отношение осталось прежним. Для алгебраических выражений действует тот же принцип, но нужно удостовериться, что общий множитель не равен нулю. Если он может обратиться в ноль, преобразование требует отдельной проверки значений переменной.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, сначала раскладывают числитель и знаменатель на множители, а затем делят их на общий ненулевой множитель. Так, в дроби (x² − 9)/(x − 3) числитель раскладывается как (x − 3)(x + 3), и общий множитель x − 3 можно убрать. Сокращение возможно между множителями, а не между отдельными слагаемыми. Разложение помогает увидеть общую часть, которую нельзя надёжно определить по записи в виде суммы.

Сокращение не отменяет ограничений, заданных знаменателем исходной дроби. В примере (x² − 9)/(x − 3) исходный знаменатель обращается в ноль при x = 3, хотя после сокращения получается x + 3, определённое и при x = 3. Это значение всё равно нельзя подставлять в исходное выражение: упрощённая запись равна ему только на исходной области допустимых значений. Поэтому ограничения находят до преобразования и сохраняют в ответе.

Состав и преобразование алгебраической дроби

Пользуйся таблицей как порядком проверки: сначала определи части дроби и область допустимых значений, затем выполняй преобразования. Перед сокращением убедись, что общие части являются множителями, а не слагаемыми. В конце проверь, что ограничения исходного знаменателя не потерялись.

Разбор задач

1. Укажите, при каких значениях x выражение (x + 2)/(x − 5) имеет смысл.

1. Смотрим на знаменатель: это x − 5. Дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала выясняем, при каком x он обращается в ноль.

2. Решаем уравнение x − 5 = 0. Прибавив 5 к обеим частям, получаем x = 5. Это значение запрещено, так как при нём знаменатель равен нулю.

3. Исключаем найденное значение и оставляем все остальные значения x. Никаких иных ограничений в выражении нет. Ответ: выражение имеет смысл при x ≠ 5.

2. Найдите значение выражения (x² − 9)/(x − 3) при x = 5.

1. Сначала проверяем исходный знаменатель: x − 3 ≠ 0, значит, x ≠ 3. Значение x = 5 допустимо, поэтому вычисление можно продолжить. Такая проверка нужна до преобразования дроби.

2. Раскладываем числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Получаем дробь ((x − 3)(x + 3))/(x − 3). Здесь x − 3 — общий множитель числителя и знаменателя.

3. Сокращаем общий множитель и получаем x + 3, сохраняя условие x ≠ 3. Подставляем допустимое значение x = 5: 5 + 3 = 8. Ответ: 8.

3. Сократите дробь (x² − 4x + 4)/(x² − 4) и укажите область допустимых значений исходного выражения.

1. Сначала исследуем исходный знаменатель: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Он равен нулю при x = 2 или x = −2, поэтому оба значения нужно исключить. Область допустимых значений: x ≠ 2 и x ≠ −2.

2. Разложим числитель: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Тогда дробь записывается как (x − 2)(x − 2)/((x − 2)(x + 2)). В числителе и знаменателе есть общий множитель x − 2.

3. Сокращаем общий множитель и получаем (x − 2)/(x + 2). При сокращении не возвращаем в область значения, запрещённые исходным знаменателем: x = 2 по-прежнему исключено, как и x = −2. Ответ: (x − 2)/(x + 2), ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ −2.

Типичные ошибки

Первая ошибка — допустить знаменатель, равный нулю. Обычно это происходит, когда ученик сразу подставляет значение или преобразует дробь, не проверив деление. Найди нули исходного знаменателя и исключи их. Для самопроверки подставь запрещённое значение: если знаменатель стал нулём, его нельзя использовать.

Вторая ошибка — сокращать слагаемые, например убрать x в выражении x + 3. Сокращать можно только множители, потому что основное свойство относится к произведению числителя и знаменателя на общий множитель. Сначала разложи числитель и знаменатель на множители. Проверь, что сокращаемая часть умножает остальные части, а не складывается с ними.

Третья ошибка — забыть ограничения исходной дроби после сокращения. Упрощённая запись иногда имеет смысл при значении, которое обращало исходный знаменатель в ноль. Чтобы этого не произошло, находи область допустимых значений до преобразований и записывай её рядом. В конце сравни ограничения с нулями исходного знаменателя.

Четвёртая ошибка — умножать или делить числитель и знаменатель на выражение, которое может оказаться нулём. Такое преобразование нельзя применять без проверки: при нулевом множителе появляются недопустимые действия или меняется область значений. Установи, при каких x выбранное выражение обращается в ноль. Если такие значения возможны, отдельно учти их и не используй преобразование для них.

Связь с другими темами

Для работы с алгебраическими дробями нужно уметь находить значения выражений и решать простейшие уравнения: именно так проверяют знаменатель и определяют область допустимых значений. Полезно также раскладывать многочлены на множители, иначе трудно увидеть общую часть числителя и знаменателя. Эти умения опираются на действия с выражениями, изученные раньше. В дальнейшем алгебраические дроби встретятся при преобразовании рациональных выражений и решении дробно-рациональных уравнений.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю.
• Область допустимых значений находят по знаменателю исходной дроби.
• Числитель и знаменатель можно умножать или делить на один и тот же ненулевой множитель.
• Сокращают только общие множители.
• Перед сокращением полезно разложить числитель и знаменатель на множители.
• Ограничения исходной дроби сохраняются и после её упрощения.