"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Степень с целым показателем помогает кратко записывать произведения одинаковых множителей и преобразовывать выражения. Показатель может быть положительным, нулём или отрицательным; для нулевого и отрицательного показателя основание должно быть ненулевым. Главные правила связывают показатели: при умножении степеней с одним основанием их складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Эти свойства упрощают вычисления и буквенные выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с целым показателем — запись вида a^n, где a — основание, а n — целое число: положительное, ноль или отрицательное. Если показатель положительный, степень показывает, сколько одинаковых множителей нужно перемножить. Расширение понятия позволяет записывать с помощью степеней не только такие произведения, но и обратные числа к ним.
Нулевая степень ненулевого числа равна единице: a^0 = 1 при a ≠ 0. Основание не может быть нулём, потому что значение 0^0 не задаётся этим правилом: при делении нуля на ноль нельзя получить определённый результат. Это правило помогает продолжить свойства степеней на показатель, равный нулю.
Отрицательная степень задаётся формулой a^(−n) = 1/a^n, где a ≠ 0, а n — положительное целое число. Например, 2^(−3) означает 1/2³, а не отрицательное число. Такое определение позволяет пользоваться обычными правилами степеней и при отрицательных показателях.
Основание степени — число или выражение, которое возводят в степень; в записи a^n это a. При отрицательном показателе основание должно быть ненулевым, ведь в результате появляется дробь с основанием в знаменателе. Поэтому, например, x^(−2) допустимо только при x ≠ 0.
Для положительного показателя a^m — это произведение m одинаковых множителей a. Поэтому при умножении a^m на a^n все множители можно собрать в одно произведение: всего их станет m + n. Так появляется правило a^m · a^n = a^(m+n), и основание у обеих степеней должно быть одинаковым.
Правило умножения сохраняется и для нулевых и отрицательных показателей, если использовать определения a^0 = 1 и a^(−n) = 1/a^n. Например, a³ · a^(−3) = a³/a³ = 1, что совпадает с результатом a⁰. Значит, формула a^m · a^n = a^(m+n) остаётся верной для целых m и n, когда a ≠ 0, если в записи встречаются отрицательные показатели.
При делении степеней с одинаковым основанием одинаковые множители сокращаются, поэтому a^m/a^n = a^(m−n). Если m меньше n, разность показателей отрицательна: например, a²/a⁵ = 1/a³. Чтобы правило деления работало и в таком случае, степень с отрицательным показателем определяют как обратную положительной степени.
Степень степени раскрывают умножением показателей: (a^m)^n = a^(mn). Причина в том, что степень a^m повторяется n раз, то есть множитель a встречается mn раз. При возведении произведения или частного в степень каждый множитель получает тот же показатель: это следует из повторного умножения всех множителей. Для частного знаменатель должен быть ненулевым.
Важно различать одинаковые основания и одинаковые показатели. Если основания одинаковы, при умножении показатели складывают, например a² · a⁵ = a⁷. Если одинаковы показатели, но основания разные, можно объединить основания: a^n · b^n = (ab)^n. Показатели в последнем случае не перемножают: это происходит только при возведении уже имеющейся степени в новую степень.
| Свойство | Формула | Ограничения |
|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковым основанием | a^m · a^n = a^(m+n) | Если есть отрицательные показатели, a ≠ 0 |
| Деление степеней с одинаковым основанием | a^m/a^n = a^(m−n) | a ≠ 0 |
| Возведение степени в степень | (a^m)^n = a^(mn) | Для отрицательных показателей a ≠ 0 |
| Степень произведения | (ab)^n = a^n b^n | Для отрицательных показателей a ≠ 0 и b ≠ 0 |
| Степень частного | (a/b)^n = a^n/b^n | b ≠ 0; при отрицательном n также a ≠ 0 |
| Нулевая степень | a^0 = 1 | a ≠ 0 |
| Отрицательная степень | a^(−n) = 1/a^n | a ≠ 0; n — положительное целое число |
Сначала найди в выражении знакомые основания и показатели, затем выбери подходящее правило. Перед преобразованием проверь ограничения: в частности, основание или знаменатель не должны оказаться нулём.
Если выражение содержит несколько действий, применяй свойства по очереди и записывай промежуточные результаты. Это помогает не перепутать сложение показателей с их умножением.
Задача 1. Упростить 2³ · 2⁵ и 7⁶/7². В обоих выражениях основания повторяются, значит, можно применить правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Основания ненулевые, поэтому преобразования допустимы.
Ответ: 2⁸ и 7⁴. Здесь не нужно вычислять сами большие степени: задание просит упростить записи, и результатом служат степени с одним показателем.
Задача 2. Вычислить 3⁰ + 2^(−3) и представить ответ обыкновенной дробью. Нулевая степень заменяется единицей, а отрицательная — обратной положительной степенью. После этого остаётся сложить числа, записав их с общим знаменателем.
Ответ: 9/8. Не следует превращать 2^(−3) в −8: знак минус в показателе указывает на обратное число.
Задача 3. Упростить (x^(−2)y³)² · x⁵/y⁴ при x ≠ 0 и y ≠ 0. Сначала раскроем степень произведения, чтобы отдельно работать со степенями x и y. Затем объединим степени с одинаковыми основаниями и проверим, что в результате отрицательных показателей не осталось.
Ответ: xy². Условия x ≠ 0 и y ≠ 0 нужны, поскольку в исходном выражении есть отрицательная степень x и деление на y⁴.
Ошибка: считать, что a⁰ = 0. Так можно подумать, потому что показатель равен нулю, но нулевой показатель не означает нулевое значение степени. Для a ≠ 0 деление a^m/a^m даёт 1 и по правилу деления равно a⁰. Проверь себя: например, 5⁰ = 1.
Ошибка: заменять a^(−n) на −a^n. Минус здесь относится к показателю и означает обратное число, а не смену знака результата. Пользуйся определением a^(−n) = 1/a^n и проверяй на примере: 2^(−2) = 1/4, а не −4.
Ошибка: перемножать показатели при умножении степеней с одинаковым основанием. Это правило путают с возведением степени в степень, где показатели действительно перемножаются. При умножении множителей их число складывается, поэтому a^m · a^n = a^(m+n); можно проверить на 2² · 2³ = 2⁵.
Ошибка: применять отрицательные показатели при нулевом основании. По определению возникло бы деление на ноль, которое не имеет смысла. Перед использованием правила проверь, что основание не равно нулю; например, 0^(−2) не определено.
Для работы с целыми показателями нужны навыки умножения и деления чисел, действий с обыкновенными дробями и понимание положительной целой степени. Если эти действия знакомы, можно проследить, почему отрицательная степень становится обратной дробью.
Свойства степеней помогают преобразовывать алгебраические выражения и работать с буквенными дробями. При таких преобразованиях буквы выступают основаниями, поэтому нужно учитывать условия, при которых они не равны нулю.
Дальше правила применяются при изучении одночленов, многочленов и степенных функций. Они позволяют сокращать записи и упрощать выражения, прежде чем выполнять другие действия.
Почему нулевая степень равна единице?
Для ненулевого a при делении a^m на a^m получается 1. По правилу деления это же выражение равно a^(m−m) = a^0, поэтому a^0 = 1.
Что означает отрицательный показатель степени?
Он означает, что нужно взять обратное число к соответствующей положительной степени: a^(−n) = 1/a^n. Например, 2^(−3) = 1/8.
Можно ли возвести ноль в отрицательную степень?
Нет. По определению 0^(−n) пришлось бы заменить на 1/0^n, а делить на ноль нельзя.
Когда показатели степеней складывают, а когда перемножают?
Показатели складывают при умножении степеней с одинаковым основанием: a^m · a^n = a^(m+n). Перемножают их при возведении степени в степень: (a^m)^n = a^(mn).
Как упростить степень дроби?
Нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель: (a/b)^n = a^n/b^n, если b ≠ 0. При отрицательном показателе сначала можно перевернуть дробь и заменить показатель на положительный.
§ 4. Свойства степеней с целыми показателями
