§ 1. Буквенные выражения

Определения и обозначения

Буквенное выражение — это запись, составленная из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок. Буквы в такой записи обозначают числа, известные или пока неизвестные. Например, 2a + 3 содержит число 2, букву a и знаки умножения и сложения.

Значение буквенного выражения — число, которое получают после подстановки заданных чисел вместо букв и выполнения действий. Например, при a = 4 выражение 2a + 3 имеет значение 11. Понятие значения позволяет вычислить конкретный результат по общей записи.

Подстановка — это замена каждой буквы выражения соответствующим заданным числом. При этом нужно сохранять все знаки и скобки, особенно если число отрицательное. Подстановка превращает буквенное выражение в числовое, которое уже можно вычислить.

Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий, поэтому его можно вычислять по правилам порядка действий. Запись 7 + 2 · 3 — числовое выражение, его значение равно 13. Оно получается из буквенного выражения после замены букв числами.

Как это устроено

Буквенная запись помогает кратко описать общее правило, потому что не нужно каждый раз записывать отдельный пример. Например, сторона квадрата может быть обозначена буквой a, а его периметр равен 4a: достаточно умножить длину стороны на 4. Формула подходит для любой стороны, поэтому зависимость записана сразу для множества случаев.

Чтобы вычислить значение, сначала заменяют все буквы заданными числами. Если среди них есть отрицательные числа, их записывают в скобках, чтобы границы подстановки были видны. После этого получают числовое выражение и выполняют его действия: сначала скобки и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Отрицательное число заключают в скобки потому, что его знак является частью самого числа. Например, при a = −3 выражение a + 5 превращается в (−3) + 5, а не в −3 + 5 с неясной границей подстановки. Особенно необходимы скобки в выражении a²: запись (−3)² даёт 9, тогда как −3² по правилам означает −(3²), то есть −9.

Одна и та же буквенная запись может давать разные результаты, потому что буквы могут обозначать разные числа. Выражение a + 5 при a = 2 равно 7, а при a = 10 равно 15. Сама запись a + 5 не меняется, меняется только её значение после подстановки.

Проверять вычисление нужно в два этапа. Сначала сравните полученную запись с исходной и убедитесь, что все буквы заменены, а порядок действий сохранён. Затем оцените результат: например, к положительному числу 7 прибавление 5 не может дать 2, а произведение 2 · 4 должно быть больше 4.

Подстановка и вычисление буквенных выражений

Таблицу удобно читать слева направо: сначала указано исходное выражение, затем значения букв, после этого результат подстановки. В третьем столбце получается числовое выражение, которое нужно вычислить по правилам. Последний столбец содержит готовое значение.

Обратите внимание на запись 2b: после подстановки b = 4 она превращается в 2 · 4. В строке с отрицательным числом скобки обязательны, поэтому m² записывается как (−3)².

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения a + 8 при a = 5

Нужно вычислить выражение, в котором одна буква заменяет известное число. Так как перед буквой стоит знак сложения, после подстановки получится сумма 5 и 8. Других действий и скобок в выражении нет.

1. Заменяем букву a числом 5: a + 8 = 5 + 8.
2. Вычисляем сумму: 5 + 8 = 13.
3. Проверяем результат: к 5 прибавили 8, поэтому число 13 подходит.

Ответ: 13. Буквенная запись a + 8 после подстановки стала числовым выражением 5 + 8. Значит, её значение при a = 5 равно 13.

Задача 2. Найти значение выражения 3x − 2y при x = 4 и y = 1

Здесь нужно заменить сразу две буквы, поэтому важно не перепутать их значения. Сначала получим выражение 3 · 4 − 2 · 1. Умножение выполняется раньше вычитания, поэтому нельзя сначала вычитать 2 из 4.

1. Подставляем значения: 3x − 2y = 3 · 4 − 2 · 1.
2. Выполняем умножение: 3 · 4 − 2 · 1 = 12 − 2.
3. Выполняем вычитание: 12 − 2 = 10.

Ответ: 10. Оба произведения вычислены до вычитания, как требует порядок действий. Проверка показывает, что из 12 вычли 2, поэтому результат 10 разумен.

Задача 3. Найти значение выражения a² − 2a при a = −3

Отрицательное значение буквы нужно подставить в скобках, иначе можно неверно понять знак. После замены получится (−3)² − 2 · (−3). Сначала вычисляем степень и умножение, затем выполняем вычитание.

1. Подставляем число: a² − 2a = (−3)² − 2 · (−3).
2. Вычисляем степень и произведение: 9 − (−6).
3. Выполняем вычитание отрицательного числа: 9 − (−6) = 15.

Ответ: 15. Второй член равен −6, поэтому вычитание этого числа превращается в прибавление 6. Полученный результат можно проверить так: 9 + 6 = 15.

Типичные ошибки

Число, равное отрицательной величине, подставляют без скобок. Так можно потерять знак или принять его за знак вычитания, особенно при возведении в квадрат. Проверьте себя: после подстановки отрицательное число должно быть заключено в скобки.

Иногда пытаются вычислить выражение, пока в нём остаются буквы. Это невозможно, если значения букв не заданы: сначала нужно получить числовое выражение. Проверьте, исчезли ли после подстановки все буквы.

Запись 2a ошибочно принимают за 2 + a. На самом деле отсутствие знака между числом и буквой означает умножение: 2a = 2 · a. Проверьте себя, заменив букву числом и поставив точку умножения.

Ещё одна ошибка — нарушение порядка действий после подстановки. Сложение нельзя выполнять раньше умножения, а степень вычисляется раньше обычных действий. Проверьте решение, выделив сначала скобки, степени, умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Связь с другими темами

Для подстановки нужны навыки действий с натуральными, целыми и дробными числами, включая отрицательные числа. Без знания правил знаков трудно правильно вычислить полученное числовое выражение.

Также необходимо знать порядок действий и назначение скобок. Эти правила помогают не менять смысл выражения после подстановки и получать верный результат.

Буквенные выражения станут основой для формул, уравнений и преобразований выражений. Умение подставлять числа пригодится при проверке формул и поиске неизвестных величин.

Что запомнить

• Буква в выражении обозначает число.
• Чтобы найти значение выражения, подставь вместо каждой буквы заданное число.
• Отрицательное значение буквы при подстановке заключай в скобки.
• Запись 3a означает произведение 3 и a.
• После подстановки выполняй действия в правильном порядке.
• При разных значениях букв одно и то же выражение может иметь разные значения.