§ 2. Линейные неравенства

Определения и обозначения

Линейное неравенство — неравенство с одной переменной, которое после упрощения можно привести к виду ax < b, ax > b, ax ≤ b или ax ≥ b. Буква a обозначает коэффициент при переменной, а b — известное число. Такой вид помогает выбрать правильный способ решения.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Обычно подходит не одно значение, а целый набор чисел. Все подходящие значения вместе образуют множество решений и составляют ответ.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. При решении исходное неравенство заменяют равносильным, но более простым. Поэтому после каждого преобразования можно продолжать работу с новой записью.

Числовой промежуток — способ записать множество решений с помощью границ и скобок. Круглая скобка показывает, что граница не входит в ответ, а квадратная — что входит. Такая запись кратко показывает сразу все подходящие числа.

Как это устроено

Сначала слагаемые с переменной собирают в одной части, а числа — в другой. Для этого к обеим частям прибавляют или из обеих частей вычитают одни и те же выражения. Равенство разностей между частями сохраняется, поэтому порядок сравнения не меняется, и получается равносильное неравенство.

Перенос слагаемого через знак неравенства — это короткая запись такого вычитания. Например, в выражении 3x − 7 > 5 можно прибавить 7 к обеим частям и получить 3x > 12. Число меняет знак не из-за самого места записи, а потому, что к обеим частям прибавили противоположное число.

Если обе части умножить или разделить на положительное число, порядок чисел сохраняется: большее остаётся большим. Поэтому знак неравенства не изменяется. При умножении или делении на отрицательное число порядок переворачивается, так что знак нужно заменить на противоположный.

После приведения к виду ax сравнивается с числом b направление ответа зависит от коэффициента a. При a > 0 знак сохраняется, при a < 0 меняется после деления, а при a = 0 переменная исчезает. Тогда проверяют уже числовое утверждение: оно либо верно для всех x, либо не верно ни для одного.

Полученный результат удобно записывать промежутком и отмечать на координатной прямой. Для строгого знака граница не входит в решение: ставят открытую точку и круглую скобку. Для нестрогого знака граница входит: ставят закрашенную точку и квадратную скобку, а луч направляют в сторону подходящих чисел.

Преобразования линейного неравенства

Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала определите вид преобразования, затем посмотрите на условие. Особенно внимательно проверяйте знак числа перед делением. Последнюю строку применяют, когда коэффициент при переменной оказался равен нулю.

Разбор задач

Рассмотрим неравенство 3x − 7 > 5. Переменная уже находится только в одном слагаемом, поэтому сначала уберём число −7, а затем избавимся от коэффициента 3. Оба действия выполняются над обеими частями.

1. Прибавим 7: 3x > 12.
2. Разделим обе части на 3. Число положительное, поэтому знак сохраняется: x > 4.
3. Граница 4 не входит в решение, значит, ответ записываем как (4; +∞).

Ответ: x ∈ (4; +∞).

Решим 5 − 2(x + 1) ≤ 3x − 9. Сначала раскроем скобки, затем соберём переменные слева или справа и только после этого разделим на коэффициент. Его знак определит, нужно ли переворачивать неравенство.

1. Раскроем скобки: 5 − 2x − 2 ≤ 3x − 9, то есть 3 − 2x ≤ 3x − 9.
2. Перенесём переменные вправо, а числа влево: 12 ≤ 5x.
3. Разделим на 5: x ≥ 12/5. Делитель положительный, знак не меняется.

Ответ: x ∈ [12/5; +∞).

В двойном неравенстве −4 < (2x − 1)/3 ≤ 5 все три части нужно преобразовывать одинаково. Это сохраняет одну общую цепочку сравнений. Умножение на 3 безопасно, потому что 3 положительно.

1. Умножим все части на 3: −12 < 2x − 1 ≤ 15.
2. Прибавим 1: −11 < 2x ≤ 16.
3. Разделим все части на 2: −11/2 < x ≤ 8.

Ответ: x ∈ (−11/2; 8]. Левая граница открытая, а правая закрытая, потому что исходные знаки были строгим и нестрогим соответственно.

Типичные ошибки

При делении или умножении на отрицательное число иногда оставляют знак без изменения. Так происходит, когда правило для положительных чисел применяют автоматически. Проверьте себя на простом примере: −2 < 3, после умножения на −1 должно получиться 2 > −3.

Неправильная скобка меняет ответ: при строгом знаке граница не включается, а при нестрогом включается. Ошибка появляется, если смотреть только на полученное число и забывать исходный знак. Сверьте знак перед границей и решите, можно ли подставить саму границу.

При переносе слагаемого через знак неравенства иногда забывают изменить его знак. Причина в том, что перенос воспринимают как перемещение, хотя это действие с обеими частями. Проверьте запись обратным преобразованием: возвращение слагаемого должно восстановить исходное выражение.

Некоторые записывают одно найденное число вместо всего множества решений. Неравенство обычно выполняется для целого луча или промежутка. Подставьте в ответ ещё одно число из указанной области и убедитесь, что оно тоже подходит.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны сравнение чисел, действия с отрицательными числами, раскрытие скобок и решение линейных уравнений. Эти умения составляют отдельные шаги решения неравенства.

Линейные неравенства используются в системах неравенств и задачах на ограничения величин. Позже они помогают исследовать линейные функции и находить области допустимых значений.

Что запомнить

• Решение неравенства — это множество значений переменной, а не одно число.
• Прибавление и вычитание одного и того же выражения знак неравенства не меняют.
• При умножении или делении на положительное число знак сохраняется.
• При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
• Строгое неравенство задаёт открытую границу, нестрогое — включённую границу.
• Ответ удобно записывать числовым промежутком и отмечать на координатной прямой.