"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Линейное неравенство помогает определить, при каких значениях переменной одно выражение больше или меньше другого. Его можно упростить до сравнения произведения числа на переменную с числом, а затем найти все подходящие значения. При решении важно помнить: действия с обеими частями обычно сохраняют знак, но умножение или деление на отрицательное число меняет его на противоположный. Ответ можно записать промежутком и показать на числовой прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с одной переменной — неравенство, которое после упрощения можно привести к виду ax > b, ax ≥ b, ax < b или ax ≤ b. Здесь x — переменная, а a и b — числа. Например, 3x − 5 < 7 после упрощения сводится к сравнению выражения с x и числа. Это определение помогает узнать, какие неравенства решаются с помощью простых преобразований.
Решение неравенства — значение переменной, при подстановке которого неравенство становится верным. Например, 4 является решением неравенства x > 2, потому что 4 > 2. Значение, которое делает сравнение неверным, решением не является. Проверка подстановкой помогает понять смысл ответа и обнаружить ошибку.
Множество решений неравенства — все значения переменной, являющиеся его решениями. Его можно задать числовым промежутком или изобразить на координатной прямой: граничное значение отмечают точкой, а подходящие значения — лучом или частью прямой. Например, для x > 2 подходят все числа правее 2, кроме самого числа 2. Такое изображение показывает решение целиком, а не одним примером.
Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и то же множество решений. Например, x + 3 > 5 и x > 2 равносильны: оба выполняются при одних и тех же значениях x. Равносильные преобразования позволяют заменить исходное неравенство более простым, не меняя ответа. Благодаря этому решение можно выполнять по шагам.
Сначала сложное неравенство упрощают, чтобы переменная оказалась только в одной части. Для этого раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, то есть складывают слагаемые с одинаковой переменной или числа. Затем слагаемые с переменной собирают в одной части, а числа — в другой. Такие действия нужны, чтобы получить неравенство, где значение переменной легко определить.
Прибавление или вычитание одного и того же числа в обеих частях сохраняет знак неравенства. Если к двум числам прибавить одинаковое число, расстояние между ними не изменится и их порядок останется прежним. Например, из 3 < 7 следует 3 + 2 < 7 + 2, то есть 5 < 9. Поэтому слагаемое можно убрать из одной части, прибавив или вычтя его в обеих частях.
Умножение или деление обеих частей на положительное число тоже сохраняет знак. Положительное число сохраняет порядок: если одно число было меньше другого, после умножения обоих на положительное оно останется меньше. Деление работает так же, если делитель не равен нулю. Это позволяет оставить перед переменной коэффициент 1 и получить ответ.
С отрицательным числом порядок меняется на противоположный. Например, 2 < 5, но после умножения на −1 получаем −2 > −5: число, которое было меньше, стало больше. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак сравнения обязательно переворачивают. Если этого не сделать, новое неравенство будет задавать другие значения переменной.
Когда получено неравенство вида x > a или x ≤ a, границу решения можно сразу отметить на числовой прямой. При строгом знаке границу не включают: ставят выколотую точку и проводят луч в сторону подходящих значений. При нестрогом знаке граничное значение подходит, поэтому точку закрашивают. Направление луча определяется самим сравнением: x > a означает числа правее a, а x < a — числа левее a.
| Действие с обеими частями | Условие | Что происходит со знаком |
|---|---|---|
| Прибавить или вычесть одно и то же число | Любое число | Знак не меняется |
| Умножить или разделить на одно и то же число | Число положительное | Знак не меняется |
| Умножить или разделить на одно и то же число | Число отрицательное | Знак меняется на противоположный |
Перед преобразованием определи, какое действие выполняешь и какое число используешь. Если умножаешь или делишь обе части, обязательно проверь знак этого числа. По таблице удобно сверять каждый шаг решения и не забывать, когда нужно перевернуть знак.
Нужно оставить x отдельно. Сначала убираем −5, прибавляя 5 к обеим частям, а затем делим на коэффициент 3. Число 3 положительное, поэтому знак не меняется.
Ответ: x < 4, множество решений — все числа меньше 4. Точка 4 не входит в ответ, потому что знак строгий.
Сначала перенесём числовое слагаемое, прибавив −3 к обеим частям. Затем разделим на коэффициент при x, который отрицательный. Именно на этом шаге знак неравенства изменится.
Ответ: x ≤ −2, множество решений — все числа, не превосходящие −2. Граничное значение входит в ответ, так как знак нестрогий.
Здесь переменная есть в обеих частях, поэтому сначала раскроем скобки и соберём слагаемые с x отдельно от чисел. Раскрывая скобки, умножаем на 2 каждый член внутри них. После этого получится коэффициент при x, на который нужно разделить обе части.
Ответ: x < 4, или множество всех чисел меньше 4. При желании результат можно изобразить выколотой точкой 4 и лучом влево.
При делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Причина — знак при делении воспринимают как обычный знак равенства, хотя порядок чисел переворачивается. Проверяй знак делителя: если он меньше нуля, измени знак неравенства на противоположный. Например, при делении −2x ≥ 4 на −2 получится x ≤ −2.
Перенося слагаемое в другую часть, некоторые меняют знак сравнения. На самом деле меняется знак самого слагаемого, потому что слагаемое убирают одинаковым действием в обеих частях; знак неравенства при этом сохраняется. Чтобы проверить перенос, выполни действие явно в обеих частях. Так, из x − 3 < 5 получаем x < 8, прибавив 3, а не меняя знак <.
Неверное раскрытие скобок или приведение подобных слагаемых меняет исходное неравенство. Ошибка возникает, если множитель применяют не ко всем членам скобок или складывают только коэффициенты, забыв знаки. Проверяй каждый член отдельно и подставляй в исходное и преобразованное выражения одно и то же значение x: результаты преобразований должны совпадать. Например, 2(3x − 1) раскрывается как 6x − 2.
Ещё одна ошибка — неверно отметить граничную точку. Часто точку закрашивают, не проверив, строгий ли знак, или выбирают луч не в ту сторону. Для проверки сопоставь точку с видом ответа: x > a означает числа правее a, а x ≤ a — числа не правее a, включая a. Строгие знаки требуют выколотой точки, нестрогие — закрашенной.
Для решения линейных неравенств нужны навыки действий с рациональными числами, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Если эти операции выполняются аккуратно, неравенство можно постепенно привести к виду с одной переменной и числом. Дальше такие решения пригодятся при работе с системами неравенств, где нужно найти значения, подходящие сразу нескольким условиям. Неравенства также помогают определить допустимые значения величин в практических задачах.
Что называют решением неравенства?
Решением называют значение переменной, при котором после подстановки неравенство становится верным. Например, x = 4 — решение неравенства x > 2.
Как понять, что два неравенства равносильны?
У равносильных неравенств одно и то же множество решений. Это значит, что любое решение первого подходит ко второму и наоборот.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
При умножении или делении на отрицательное число порядок чисел на числовой прямой меняется на обратный. Например, из 2 < 5 следует −2 > −5, поэтому знак сравнения нужно перевернуть.
Как изобразить множество решений на координатной прямой?
Сначала отметь граничное значение. Если неравенство строгое, поставь выколотую точку, а если нестрогое — закрашенную. Затем проведи луч в сторону значений, которые удовлетворяют неравенству.
Входит ли граничная точка в решение неравенства?
При строгих знаках < и > граничная точка не входит в множество решений. При нестрогих знаках ≤ и ≥ она входит.
6.2.1. Линейные неравенства и их решение
