6.2.2. Линейные неравенства с модулями

Определения и обозначения

Модуль числа |a| — это расстояние от числа a до нуля на числовой прямой. Поэтому модуль всегда неотрицателен: |a| ≥ 0. При a ≥ 0 он равен самому числу, а при a < 0 меняет его знак: |a| = −a; это помогает раскрывать модуль.

Линейное выражение с модулем — выражение вида |ax + b|, где a и b — известные числа, а x — переменная. Внутри модуля находится обычное линейное выражение, то есть переменная не возводится в квадрат и не стоит в знаменателе. Такой вид нужен, чтобы применять правила для расстояния к выражению, зависящему от x.

Линейное неравенство с модулем — неравенство, в котором переменная входит в модуль линейного выражения, например |ax + b| < c. Решая его, мы ищем все значения x, при которых расстояние выражения ax + b от нуля удовлетворяет условию. Основной результат обычно записывают промежутком или объединением промежутков.

Как это устроено

Модуль удобно понимать как расстояние: число |x| показывает, насколько точка x удалена от нуля. Поэтому условие |x| < a означает, что точка находится ближе к нулю, чем на a единиц. При a > 0 это возможно только внутри отрезка между точками −a и a, поэтому |x| < a равносильно −a < x < a.

В двойном неравенстве нужны сразу оба условия: x должен быть больше −a и одновременно меньше a. Именно поэтому границы соединяются словом «и», а результатом становится пересечение условий. Если знак ≤, расстояние может быть ровно a, поэтому точки −a и a включаются: −a ≤ x ≤ a.

Условие |x| > a описывает точки, удалённые от нуля дальше, чем a. Они находятся не между −a и a, а левее −a или правее a. Значит, получаются два случая: x < −a или x > a; достаточно выполнения хотя бы одного из них, поэтому используется объединение.

В выражении |ax + b| можно временно обозначить ax + b новой буквой, например t. Тогда решают простое неравенство для |t|, а затем возвращаются к ax + b и решают линейные неравенства. То же самое можно делать сразу по правилам: при |ax + b| < c записывать −c < ax + b < c, а при |ax + b| > c рассматривать два случая.

Правая часть тоже влияет на возможность решения. Модуль не бывает отрицательным, поэтому |x| < a не имеет решений при a ≤ 0, а |x| > a выполняется при любом x, если a < 0; при a = 0 оно выполняется для всех x, кроме x = 0. Если справа стоит выражение, например g(x), сначала проверяют условие g(x) > 0 для строгого знака «меньше».

Равносильные неравенства с модулем при a > 0

Таблица показывает, как заменить модуль условием без знака модуля. Для знаков «меньше» записывается один промежуток между границами, а для знаков «больше» — два внешних промежутка. Квадратные границы соответствуют включению точек при знаках ≤ и ≥.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство |2x − 3| ≤ 5.

Здесь модуль меньше или равен положительному числу, поэтому применяем правило для двойного неравенства. Границы должны войти в ответ, так как используется знак ≤.

1. Запишем двойное неравенство: −5 ≤ 2x − 3 ≤ 5.
2. Прибавим 3 ко всем трём частям: −2 ≤ 2x ≤ 8.
3. Разделим части на 2: −1 ≤ x ≤ 4.

Ответ: x ∈ [−1; 4].

Задача 2. Решить неравенство |3x + 1| > 4.

Модуль больше 4, значит выражение 3x + 1 должно быть либо меньше −4, либо больше 4. Эти варианты не пересекаются, поэтому соединяем их словом «или».

1. Запишем два случая: 3x + 1 < −4 или 3x + 1 > 4.
2. Решим первый: 3x < −5, значит x < −5/3.
3. Решим второй: 3x > 3, значит x > 1.

Ответ: x ∈ (−∞; −5/3) ∪ (1; +∞).

Задача 3. Решить неравенство |2x − 1| < x + 2.

Справа стоит выражение с переменной, поэтому сначала проверим его знак. После этого раскроем модуль как двойное неравенство и оставим только общие значения x.

1. Правая часть должна быть положительной: x + 2 > 0, откуда x > −2.
2. Запишем двойное неравенство: −(x + 2) < 2x − 1 < x + 2.
3. Из левой части получаем −x − 2 < 2x − 1, то есть x > −1/3.
4. Из правой части получаем 2x − 1 < x + 2, то есть x < 3.
5. Пересечём условия x > −2, x > −1/3 и x < 3.

Ответ: x ∈ (−1/3; 3).

Типичные ошибки

Для |x| > a иногда записывают −a < x < a. Так путают точки внутри промежутка с точками вне его. Проверь себя на числе x = 0: оно удовлетворяет двойному неравенству, но его расстояние от нуля не больше a.

При |x| < a условия могут соединить словом «или». Но точка должна одновременно быть правее −a и левее a, поэтому нужен знак «и», то есть пересечение. Для проверки возьми число, которое выполняет только одно из двух условий.

В неравенстве |f(x)| < g(x) забывают проверить правую часть. Если g(x) отрицательна или равна нулю, неотрицательный модуль не может быть строго меньше неё. Сначала реши условие g(x) > 0, а затем пересекай его с остальными результатами.

При делении или умножении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Это меняет множество решений, потому что порядок чисел на прямой переворачивается. Каждый раз отмечай отрицательный делитель и меняй знак неравенства на противоположный.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны смысл модуля, правила решения линейных неравенств и умение изображать промежутки на числовой прямой. Без этих навыков трудно правильно раскрыть модуль и объединить найденные условия.

Такие неравенства встречаются в системах неравенств и задачах на расстояние. Те же правила становятся основой для более сложных неравенств, где модулей несколько или выражения имеют более высокий порядок.

Что запомнить

• Модуль числа неотрицателен.
• При a > 0: |x| < a равносильно −a < x < a.
• При a > 0: |x| > a равносильно x < −a или x > a.
• Для знаков ≤ и ≥ границы включаются.
• В условии |f(x)| < g(x) правая часть должна быть положительной.
• Проверяй ответ подстановкой и отмечай, включены ли граничные точки.