"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, например 0,(3) или 2,45(18). Такие числа можно точно записать в виде обыкновенной дроби, хотя их десятичная запись бесконечна. Для этого вводят переменную, умножают равенство на степень десяти и вычитают записи. Главное — различать чистый и смешанный период, правильно считать цифры периода и непериодической части, а затем сокращать результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная дробь, в которой после некоторого места повторяется одна и та же группа цифр. Например, в записи 0,272727… повторяется группа 27. Это определение помогает увидеть, какие цифры нужно использовать при обращении дроби.
Период дроби — группа цифр, бесконечно повторяющаяся в её десятичной записи. В числе 4,12(305) периодом является 305, а скобки показывают его границы. Длина периода нужна для выбора количества девяток в знаменателе.
Чисто периодическая дробь — периодическая дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Примеры: 0,(6) и 3,(142). Для такой дроби перед повторяющейся частью нет лишних цифр, поэтому правило обращения получается самым простым.
Смешанная периодическая дробь — периодическая дробь, у которой перед периодом расположена непериодическая часть. В записи 0,25(7) цифра 25 не повторяется, а цифра 7 повторяется бесконечно. Длина этой непериодической части определяет число нулей в знаменателе.
Периодическую дробь можно обозначить переменной x, потому что переменная может представлять любое число. Например, для x = 0,(3) запись 10x = 3,(3) содержит ту же бесконечную последовательность цифр после запятой, что и x. Вычитание этих равенств уничтожает бесконечную часть и оставляет обычное уравнение: 10x − x = 3.
Умножение на 10, 100 или 1000 сдвигает запятую на одну, две или три позиции вправо. Если сдвиг равен длине периода, повторяющиеся группы оказываются на одинаковых местах. Поэтому при вычитании одна бесконечная последовательность полностью сокращается, и неизвестное число выражается через целые числа.
Для чисто периодической дроби с периодом из m цифр умножают на 10ᵐ. Например, при x = 0,(27) получаем 100x = 27,(27), а после вычитания 99x = 27. Отсюда x = 27/99, то есть знаменатель образуется из m девяток: 9, 99, 999 и так далее.
В смешанной дроби сначала нужно пройти непериодическую часть, а затем один полный период. Если до периода n цифр, а в периоде m цифр, сравнивают 10ⁿ⁺ᵐx и 10ⁿx. Разность степеней даёт знаменатель из m девяток и n нулей: сначала учитывается повторение периода, затем сдвиг через непериодическую часть.
В числителе смешанной дроби вычитают число, записанное до периода, из числа, записанного до конца первого периода. Это происходит потому, что при вычитании 10ⁿ⁺ᵐx − 10ⁿx совпадают все цифры после первого периода, а остаётся именно разность двух целых записей. Например, для 2,45(18) берут 24518 − 245, а не только 18.
| Вид дроби | Обозначение | Действия | Итоговая формула |
|---|---|---|---|
| Чисто периодическая дробь с однозначным периодом | x = 0,(a) | Умножить на 10 и вычесть x | x = a/9 |
| Чисто периодическая дробь с периодом из нескольких цифр | x = 0,(ab…) | Умножить на 10ᵐ и вычесть x | x = ab…/(99…9) |
| Смешанная периодическая дробь | x = A,B(C) | Вычесть запись до периода из записи до конца первого периода | x = (ABC − AB)/(99…900…0) |
| Период с ведущими нулями | x = 0,(0a) или x = A,(0ab) | Считать нули цифрами периода | Девяток столько, сколько цифр в периоде |
| Проверка и сокращение полученной дроби | x = p/q | Сократить и выполнить деление | Десятичная запись должна совпасть с исходной |
Сначала определите, где начинается период, и посчитайте его цифры. Для смешанной дроби отдельно посчитайте цифры до периода: столько нулей появится после девяток. После составления дроби обязательно сократите её, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.
Период состоит из одной цифры и начинается сразу после запятой, поэтому дробь чисто периодическая. Обозначим число через x и создадим второй вариант той же записи со сдвигом на один разряд. После вычитания бесконечная часть исчезнет.
Ответ: 0,(3) = 1/3. При делении 1 на 3 снова получается бесконечная запись 0,333…, что подтверждает результат.
Перед периодом 6 находится одна непериодическая цифра 1, а длина периода равна единице. Поэтому сначала сдвинем запятую за цифру 1, а затем ещё на один разряд, чтобы совместить повторяющиеся части.
Ответ: 0,1(6) = 1/6. В знаменателе одна девятка и один ноль: 90, потому что период имеет одну цифру, а непериодическая часть тоже одну цифру.
Здесь две цифры до периода и две цифры в периоде. Число до конца первого периода равно 24518, а число до начала периода — 245. Именно их разность станет числителем, поскольку после сдвигов одинаковые повторяющиеся части взаимно уничтожаются.
Ответ: 2,45(18) = 2697/1100. Проверка делением показывает 2,45 и затем повторение цифр 18.
В знаменателе смешанной дроби иногда записывают только девятки и забывают нули. Так происходит, когда учитывают период, но не учитывают сдвиг через непериодическую часть. Проверьте себя: число нулей должно совпадать с количеством цифр между запятой и началом периода.
При вычитании можно неверно записать число до периода, потеряв начальные или внутренние нули. Например, в 0,04(7) запись до периода — 04, а не просто 4 при мысленном сравнении разрядов. Сохраняйте одинаковую разрядность и выписывайте обе целые записи столбиком.
Иногда путают длину периода с количеством цифр всей записи после запятой. Из-за этого выбирают неправильную степень десяти и получают несовпадающие повторяющиеся части. Сосчитайте только цифры в скобках: именно их количество определяет первый сдвиг для совмещения периодов.
Полученную дробь могут оставить несокращённой или принять период за конечную десятичную дробь. Сокращение не меняет числа, а лишь даёт более простой вид. Для проверки разделите числитель на знаменатель и убедитесь, что исходный период повторяется бесконечно.
До изучения темы нужны действия с обыкновенными и десятичными дробями, степени десяти, разрядная запись чисел и сокращение дробей. Эти навыки позволяют правильно выполнять сдвиги запятой и преобразовывать полученное уравнение.
Периодическая дробь также связана с бесконечной геометрической прогрессией. Например, 0,(3) = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …, а формула суммы такой прогрессии приводит к тому же результату.
Дальше это умение пригодится при сравнении и преобразовании рациональных чисел, решении уравнений и вычислениях с рациональными выражениями. Обращение дроби переводит неудобную бесконечную запись в точную форму, с которой проще выполнять алгебраические действия.
Почему периодическую дробь можно обозначить буквой x?
Буква x может обозначать любое число, в том числе бесконечную периодическую десятичную дробь. После умножения на степень десяти её повторяющаяся часть совпадает с исходной, поэтому вычитание позволяет найти x.
Как определить, сколько девяток и нулей должно быть в знаменателе?
Число девяток равно количеству цифр в периоде. После них записывают столько нулей, сколько цифр находится между запятой и началом периода.
Что делать, если период начинается с нуля?
Ноль считается обычной цифрой периода, поэтому его нужно учитывать при подсчёте длины периода. Например, в дроби 0,(06) период имеет две цифры, и знаменатель будет 99.
Можно ли обратить периодическую дробь без составления уравнения?
Можно воспользоваться готовым правилом: для чистой дроби взять период числителем, а в знаменатель поставить столько девяток, сколько в нём цифр. Для смешанной дроби нужно вычесть запись до периода из записи до конца первого периода.
Как проверить, что полученная обыкновенная дробь верна?
Сократите дробь и разделите числитель на знаменатель. В десятичной записи должны появиться исходные непериодические цифры и тот же период.
6. Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные
