5. Арифметические операции над действительными числами

Определения и обозначения

Действительные числа — рациональные и иррациональные числа, которым соответствуют точки числовой прямой. Рациональные числа можно представить дробью, а иррациональные нельзя записать в виде такой дроби. Вместе они образуют все числа, с которыми работают в обычной алгебре.

Арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление действительных чисел. С их помощью находят сумму, разность, произведение и частное чисел. Эти действия лежат в основе преобразования выражений и решения уравнений.

Противоположное число для числа a — число −a, потому что a + (−a) = 0. Оно находится сменой знака: противоположным для 7 будет −7, а для −3 — 3. Благодаря ему вычитание можно заменить сложением.

Обратное число для ненулевого числа a — число 1/a, поскольку a · 1/a = 1. Для нуля обратного числа нет: невозможно подобрать множитель, который даст единицу при умножении на ноль. Обратное число используется при замене деления умножением.

Как это устроено

Рациональные и иррациональные числа вместе заполняют числовую прямую без пропусков. Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, потому что его положение однозначно определяется расстоянием от нуля и направлением. И наоборот, выбранная точка прямой задаёт единственное действительное число.

Вычитание не является отдельным новым приёмом: a − b означает a + (−b). Это удобно, потому что для сложения уже существуют общие правила знаков и свойства перестановки и группировки. Например, 5 − 8 = 5 + (−8) = −3.

Деление a : b при b ≠ 0 означает поиск числа, которое после умножения на b даёт a. Поэтому a : b = a · 1/b. Условие b ≠ 0 обязательно: у нуля нет обратного числа, а деление на ноль не определено.

Сумма, разность и произведение любых действительных чисел снова являются действительными числами, потому что эти операции не выводят нас за пределы числовой прямой. Для частного требуется дополнительное условие: делитель не должен быть нулём. Так сохраняется смысл операции и возможность использовать обратное число.

Переместительное свойство позволяет менять местами слагаемые или множители, а сочетательное — по-разному объединять их в группы. Распределительное свойство превращает произведение суммы в сумму произведений: a(b + c) = ab + ac. При умножении и делении знаки одинаковых чисел дают положительный результат, а разных — отрицательный; при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный.

Арифметические операции и их основные свойства

Сначала определите, какая операция выполняется, а затем выберите подходящее свойство. Скобки можно раскрыть распределительным свойством, а слагаемые и множители — переставить или перегруппировать, если это не меняет самой операции. Для деления каждый раз проверяйте, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

1. Вычисление суммы дробей

Условие: вычислить выражение −3/4 + 5/6 − 1/3. Сначала заменим вычитание сложением с противоположным числом. Затем приведём дроби к общему знаменателю, чтобы сложить их числители.

1. Общий знаменатель для 4, 6 и 3 равен 12: −3/4 = −9/12, 5/6 = 10/12, −1/3 = −4/12.
2. Складываем числители: −9 + 10 − 4 = −3.
3. Получаем −3/12 и сокращаем дробь на 3.

Ответ: −1/4. Проверка знака показывает, что отрицательная часть по модулю больше положительной, поэтому результат действительно отрицательный.

2. Раскрытие скобок и подстановка

Условие: упростить 3(2x − 5) − 2(x + 4) + 7 и найти значение при x = −1. Сначала преобразуем буквенное выражение, чтобы не повторять вычисления с числами. При раскрытии скобок каждый множитель относится ко всем слагаемым внутри.

1. Раскрываем скобки: 3(2x − 5) = 6x − 15, а −2(x + 4) = −2x − 8.
2. Объединяем подобные слагаемые: 6x − 15 − 2x − 8 + 7 = 4x − 16.
3. Подставляем x = −1: 4 · (−1) − 16 = −4 − 16 = −20.

Ответ: упрощённое выражение — 4x − 16, его значение при x = −1 равно −20. Полезно сначала привести подобные слагаемые, потому что так уменьшается риск ошибки при подстановке.

3. Сокращение дроби с ограничением

Условие: упростить (x² − 9)/(x − 3) − (x + 3) и указать допустимые значения x. Ограничение ищем по исходному знаменателю до любых сокращений. Числитель раскладываем как разность квадратов.

1. Из x − 3 ≠ 0 получаем x ≠ 3.
2. x² − 9 = (x − 3)(x + 3), поэтому при x ≠ 3 дробь сокращается до x + 3.
3. Вычитаем второе слагаемое: (x + 3) − (x + 3) = 0.

Ответ: выражение равно 0 при x ≠ 3. Значение x = 3 нельзя возвращать в область допустимых значений, потому что исходная дробь при нём не определена.

Типичные ошибки

Деление на ноль. Ошибка возникает из-за мысли, что любое число можно разделить на любое другое. Проверяйте знаменатель и делитель до вычислений: если он равен нулю, операция не определена.

Смешение противоположного и обратного числа. Для a противоположное число — −a, а обратное — 1/a. Проверка простая: с противоположным числом должна получаться сумма 0, а с обратным при a ≠ 0 — произведение 1.

Неверное раскрытие скобок перед отрицательным множителем. Часто меняют знак только у первого слагаемого, хотя множитель действует на всю скобку. Раскройте выражение по распределительному свойству и проверьте каждый знак отдельно.

Сокращение без ограничений. После сокращения множитель может исчезнуть из знаменателя, но запрещённое значение остаётся запрещённым в исходной дроби. Сначала выпишите ОДЗ из исходных знаменателей, затем выполняйте сокращение.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны рациональные и иррациональные числа, числовая прямая, правила действий с дробями и порядок выполнения действий. Эти знания позволяют понимать запись чисел и выполнять базовые преобразования без дополнительных пояснений.

Операции над действительными числами используются при преобразовании алгебраических выражений, решении уравнений и неравенств с действительными коэффициентами. Свойства операций помогают сокращать записи и проверять полученные результаты.

Те же правила понадобятся при изучении степеней, корней, функций, пределов и производных. В дальнейшем к ним добавятся новые объекты, но сложение, умножение и ограничения на деление останутся основой вычислений.

Что запомнить

• Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
• Вычесть число — значит прибавить противоположное ему число.
• Разделить на ненулевое число — значит умножить на обратное ему число.
• На ноль делить нельзя.
• Сложение и умножение действительных чисел переместительны и сочетательны.
• Умножение распределительно относительно сложения и вычитания.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.