§ 16. Абсолютная и относительная погрешность

Определения и обозначения

Приближённое значение числа — это число, которое используют вместо точного значения. Точное значение обозначим x, а приближённое — a. Например, при вычислениях вместо точного значения можно взять число, округлённое до десятых. Такое обозначение помогает отдельно указывать исходное значение и его замену.

Абсолютная погрешность — модуль разности приближённого и точного значений: Δa = |a − x|. Модуль означает, что знак разности не учитывается. Эта величина показывает, насколько приближение отклонилось от точного значения, и нужна для оценки величины отклонения.

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: δa = Δa / |x| при x ≠ 0. Она показывает, насколько велико отклонение по сравнению с самой величиной. Относительную погрешность используют, когда нужно сопоставить точность приближений чисел разного масштаба.

Точность приближения — характеристика того, насколько близко приближённое значение к точному. Её можно оценивать через абсолютную погрешность, если важна величина отклонения в исходных единицах, или через относительную, если важна доля отклонения от числа. Чем меньше соответствующая погрешность, тем точнее приближение.

Как это устроено

Когда точное число заменяют приближённым, значения могут не совпасть. Разность a − x показывает отклонение: если она положительна, приближение больше точного, если отрицательна — меньше. Но для оценки точности направление отклонения обычно несущественно, поэтому берут модуль и получают абсолютную погрешность. Например, отклонение на 0,2 в любую сторону имеет одну и ту же величину.

Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и сама величина, потому что это разность двух значений одной и той же величины. Так проще понять конкретный масштаб ошибки: отклонение 2 см можно непосредственно сопоставить с длиной. Однако сама по себе такая погрешность не всегда говорит, хорошее ли это приближение. Для короткого отрезка 2 см могут быть существенны, а для длинного — почти незаметны.

Относительная погрешность помогает учитывать размер числа: она делит абсолютную погрешность на модуль точного значения. В результате получается доля, показывающая, какую часть от величины составляет отклонение. Поэтому относительные погрешности позволяют сравнить точность измерений, сделанных в разных единицах или для объектов разного масштаба. В знаменателе стоит именно точное значение, поскольку сравнение ведётся с тем значением, которое приближение должно было заменить.

Чтобы записать относительную погрешность в процентах, её умножают на 100%. Например, десятичная дробь 0,04 означает четыре сотых, а в процентной записи это 0,04 · 100% = 4%. Для обратного перехода проценты делят на 100: 3% = 0,03. При вычислениях можно сначала найти относительную погрешность как дробь, а затем перевести результат в проценты, если так удобнее представить точность.

Если известно, что абсолютная погрешность не превосходит ε, то |a − x| ≤ ε. Это неравенство означает, что точное значение отстоит от приближённого не дальше чем на ε в любую сторону. Поэтому a − ε ≤ x ≤ a + ε, то есть точное значение лежит в промежутке [a − ε; a + ε]. Такой способ позволяет описать точное значение, даже если оно неизвестно, но известны приближение и граница погрешности.

Сравнение абсолютной и относительной погрешностей

Сначала определите, что требуется сравнить: конкретное отклонение или его долю от точного значения. Для первого подходит абсолютная погрешность, для сравнения относительной точности — относительная. В процентах обычно представляют именно относительную погрешность.

Разбор задач

Задача 1. Приближённое значение числа 12,7 заменяет точное значение 12,68. Найдите абсолютную погрешность.

1. Обозначим приближённое значение a = 12,7, а точное — x = 12,68.
2. Используем формулу абсолютной погрешности: Δa = |a − x|. Модуль нужен, чтобы результат показывал величину отклонения.
3. Вычислим: Δa = |12,7 − 12,68| = |0,02| = 0,02.

Ответ: абсолютная погрешность равна 0,02.

Задача 2. Длина детали равна 24 см, а в расчётах её приняли равной 23,8 см. Найдите абсолютную и относительную погрешности.

1. Точное значение длины x = 24 см, приближённое a = 23,8 см. Сначала найдём отклонение, потому что относительная погрешность вычисляется через абсолютную.
2. Δa = |23,8 − 24| = 0,2 см. Полученная погрешность выражена в сантиметрах — как и длина детали.
3. Разделим её на модуль точного значения: δa = 0,2 / 24 = 1/120 ≈ 0,0083. Это десятичная запись относительной погрешности.
4. В процентах получаем 0,0083 · 100% ≈ 0,83%. Такой результат показывает, что отклонение составляет примерно 0,83% от точной длины.

Ответ: абсолютная погрешность — 0,2 см, относительная — 1/120 ≈ 0,0083, или около 0,83%.

Задача 3. Приближённое значение числа равно 48, а абсолютная погрешность не превосходит 0,6. Укажите промежуток, которому принадлежит точное значение, и оцените относительную погрешность сверху.

1. Здесь a = 48 и ε = 0,6. Из условия |a − x| ≤ ε следует, что точное значение лежит между a − ε и a + ε.
2. Вычислим границы: 48 − 0,6 = 47,4 и 48 + 0,6 = 48,6. Значит, 47,4 ≤ x ≤ 48,6.
3. Для относительной погрешности нужно разделить абсолютную погрешность на |x|. Так как x в этом промежутке положительно и не меньше 47,4, то δa ≤ 0,6 / 47,4 ≈ 0,0127.
4. Переведём верхнюю оценку в проценты: 0,0127 · 100% ≈ 1,27%. Используем нижнюю границу x, потому что при меньшем знаменателе отношение получается больше.

Ответ: x ∈ [47,4; 48,6]; относительная погрешность не превосходит примерно 0,0127, или 1,27%.

Типичные ошибки

Ошибка: не брать модуль разности и получать отрицательную абсолютную погрешность. Так бывает, если вычитать значения в заданном порядке и не учитывать смысл результата: погрешность описывает величину отклонения, а не его направление. Проверьте себя: абсолютная погрешность должна быть неотрицательной; после вычитания примените модуль.

Ошибка: перепутать точное и приближённое значения в формуле относительной погрешности или разделить на приближённое. Это происходит, когда формулу запоминают как действие с двумя числами, не связывая её со смыслом. По определению делят абсолютную погрешность на модуль точного значения. Перед вычислением подпишите, чему равны a и x, и убедитесь, что в знаменателе стоит |x|.

Ошибка: записать относительную погрешность в процентах без умножения на 100%. Десятичная дробь и процентная запись — разные формы представления одного числа, поэтому 0,03 — это не 0,03%, а 3%. Проверьте переход: умножьте десятичное значение на 100 и поставьте знак процента.

Ошибка: сравнивать абсолютные погрешности величин разного масштаба как показатель их точности. Одинаковое отклонение может быть большим для одной величины и малым для другой, поэтому прямое сравнение вводит в заблуждение. Для такого сравнения найдите относительные погрешности. Проверить выбор можно по смыслу: если нужно сравнить долю отклонения, используйте отношение к точному значению.

Связь с другими темами

Для вычисления погрешностей понадобятся умение находить модуль числа, вычислять разность и выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эти навыки позволяют правильно подставить значения в формулы и не потерять точность при вычислениях. Погрешности связаны с округлением: после округления исходное число заменяют приближённым, а разность между ними характеризует отклонение. Эти понятия используют и при оценке точности измерений, вычислений и записи результатов с заданной точностью.

Что запомнить

• Абсолютная погрешность равна модулю разности приближённого и точного значений.
• Абсолютная погрешность неотрицательна.
• Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и величина.
• Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к модулю точного значения.
• Относительная погрешность не имеет единиц измерения.
• Чтобы выразить относительную погрешность в процентах, её умножают на 100%.