"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Проценты помогают сравнивать величины и рассчитывать, как они меняются: например, находить скидку, налог, рост цены или сумму вклада. Один процент — это одна сотая часть целого, поэтому процентные задачи удобно решать с помощью десятичных дробей и умножения. Главное — правильно определить величину, принятую за 100%, и помнить, что при повторных изменениях каждый раз процент считают от нового значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процент — одна сотая часть величины. Запись 1% = 1/100 = 0,01 показывает, что целое разделили на сто равных частей и взяли одну такую часть. Поэтому проценты можно переводить в обыкновенные и десятичные дроби. Это позволяет использовать обычные действия с числами для решения практических задач.
Процентное отношение — отношение двух величин, выраженное в процентах. Чтобы узнать, сколько процентов число a составляет от числа b, делят a на b и результат умножают на 100%. Число b здесь принимают за 100%, поэтому важно выбрать именно ту величину, с которой сравнивают. Такой расчёт помогает сопоставлять, например, часть и целое или показатели за разные годы.
Процентное изменение — увеличение или уменьшение величины, выраженное в процентах от её первоначального значения. Для его вычисления находят разность между новым и начальным значениями и сравнивают её с начальным значением. При росте изменение положительное, при уменьшении — отрицательное. Показатель позволяет сравнить изменения величин разного размера.
Сложные проценты — начисление процентов на сумму, уже увеличенную за предыдущие периоды. Например, во второй год вклад может приносить процент не только от первоначального вклада, но и от процентов, начисленных за первый год. Поэтому сумма растёт не одинаковыми прибавками. Это понятие нужно для расчётов по вкладам и других повторяющихся процентных изменений.
Чтобы найти процент от числа, сначала переводят процент в десятичную дробь, а затем умножают на исходное число. Например, 20% превращаются в 0,2, а 20% от 50 равны 50 · 0,2 = 10. Умножение подходит потому, что процент — это доля целого: мы берём от числа указанную долю. Если процент меньше 100%, результат обычно меньше исходного числа.
Если известна часть и нужно восстановить целое, делят известную величину на соответствующую десятичную дробь. Пусть 15% некоторого числа равны 30: тогда 30 = 0,15 · x, где x — искомое число, и x = 30 : 0,15 = 200. Деление отменяет умножение на 0,15. Оно необходимо потому, что 30 — не всё число, а только его пятнадцать сотых.
Процентное отношение находят делением сравниваемой величины на ту, с которой её сравнивают, а затем умножением результата на 100%. Если 12 учеников из 30 выбрали кружок, доля участников равна 12 : 30 = 0,4, то есть 40%. В знаменателе стоит 30, потому что именно общее число учеников принято за 100%. Если поменять числа местами, получится ответ на другой вопрос.
При последовательных изменениях на одинаковый процент проценты нельзя просто сложить или вычесть. Причина в том, что второе изменение рассчитывают уже от величины после первого изменения, а не от начальной. Например, после увеличения на 10% новое значение составляет 110% исходного; ещё одно увеличение на 10% даёт 110% от этих 110%. Поэтому итоговый рост равен 21%, а не 20%.
Повторяющееся увеличение или уменьшение удобно описывать степенью множителя изменения. При росте на p% множитель равен 1 + p/100, а при уменьшении — 1 − p/100. После каждого шага новое значение умножают на тот же множитель, поэтому за n шагов исходное значение умножается на его n-ю степень. Так получают формулу и для сложных процентов: начальная сумма · (1 + p/100)ⁿ.
В таблице собраны основные ситуации и соответствующие действия. Сначала определите, что известно: целое, его часть, отношение величин или последовательность изменений. Затем выберите нужный множитель или деление и проверьте, что сравниваете с правильной величиной.
| Что требуется найти | Как рассуждать | Вычисление |
|---|---|---|
| Процент от числа | Перевести p% в дробь и взять эту долю от числа a. | a · p/100 |
| Число по известному проценту | Известная величина — часть целого; разделить её на долю. | b : (p/100) |
| Процентное отношение двух чисел | Разделить сравниваемую величину на величину, принятую за 100%. | (a : b) · 100% |
| Новая величина после увеличения на p% | К исходному целому прибавится p/100 этого целого. | a · (1 + p/100) |
| Новая величина после уменьшения на p% | Останется 100% − p% от исходного значения. | a · (1 − p/100) |
| Изменение на p% несколько раз подряд | Повторно умножать на один и тот же множитель изменения. | a · (1 ± p/100)ⁿ |
Задача 1. Найдите 18% от 250. Нужно определить часть от известного целого, поэтому восстанавливать исходное число не требуется. Процент переводим в десятичную дробь и умножаем на 250. Полученную часть можно проверить: она должна быть меньше 250, поскольку 18% меньше 100%.
Ответ: 45.
Задача 2. После скидки 15% товар стоит 1 020 рублей. Найдите его цену до скидки. После скидки покупатель платит не 100% первоначальной цены, а 100% − 15% = 85%. Значит, 1 020 рублей составляют 0,85 начальной цены. Чтобы восстановить целое по известной части, нужно разделить эту часть на её долю.
Ответ: 1 200 рублей.
Задача 3. Вклад 20 000 рублей увеличивается на 5% в конце каждого года. Найдите сумму через три года, если проценты ежегодно присоединяются к вкладу. После каждого года проценты остаются на счёте, поэтому следующий процент начисляется уже на увеличенную сумму. Увеличение на 5% означает умножение на 1,05. Один и тот же множитель применяется три раза.
Ответ: 23 152 рубля 50 копеек.
Ошибка: чтобы найти процент от числа, делят число на значение процента. Так иногда делают, потому что воспринимают число процентов как обычный делитель. Но сначала процент нужно представить дробью и умножить на исходное число: например, 18% от 250 — это 250 · 0,18. Проверка: если ищут долю меньше 100%, ответ должен быть меньше целого.
Ошибка: при поиске исходной величины умножают известную часть на процент. Известная величина уже является частью целого, поэтому такое умножение обычно уменьшает её ещё сильнее. Нужно разделить эту часть на процент, записанный десятичной дробью: если 30 — это 15%, то целое равно 30 : 0,15. Проверить решение можно обратным действием: найти указанный процент от ответа.
Ошибка: процентное отношение считают от неподходящего числа. Её допускают, когда забывают, какое значение в задаче принято за 100%. Знаменатель должен быть именно величиной, с которой сравнивают, а числитель — сравниваемой величиной. Для проверки сформулируйте вопрос: «Сколько процентов от какого числа?» Число после слова «от» обычно и задаёт знаменатель.
Ошибка: при двух последовательных изменениях на p% проценты складывают или вычитают. Такое рассуждение подходит только тогда, когда оба изменения считают от одной и той же первоначальной величины. При последовательных шагах база меняется, поэтому второй раз применяют множитель к новому значению. Проверка: запишите оба действия подряд, например a · (1 + p/100) · (1 + p/100), а не заменяйте их одним изменением на 2p%.
Для процентных расчётов нужны навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями, отношениями и пропорциями. Эти умения помогают переводить проценты в дроби и находить неизвестное целое. В жизни проценты встречаются при расчёте скидок, налогов, вкладов, роста и уменьшения величин. Повторяющееся изменение на один и тот же процент связано с геометрической прогрессией: каждый следующий член получают умножением на постоянный множитель. Если к величине каждый раз прибавляют одно и то же число, возникает связь с арифметической прогрессией.
Почему 20% от числа — это то же самое, что умножить его на 0,2?
Процент означает сотую часть, поэтому 20% = 20/100 = 0,2. Чтобы найти 20% числа, нужно взять две десятых этого числа, то есть умножить его на 0,2.
Как найти число, если известно, что 15% от него равны 30?
Представьте 15% десятичной дробью: это 0,15. Если число обозначить x, то 0,15x = 30, поэтому x = 30 : 0,15 = 200.
От какого числа нужно считать процентное изменение?
Процентное изменение считают от первоначального значения, то есть от величины до увеличения или уменьшения. Его принимают за 100%, а изменение делят именно на него.
Почему скидка 20%, а затем ещё 20% не равна общей скидке 40%?
Первая скидка уменьшает цену, а вторая скидка рассчитывается уже от уменьшенной цены. Поэтому во второй раз снимают меньше рублей, чем в первый, и итоговая скидка составляет 36% от начальной цены.
Как рассчитать сумму вклада, если проценты каждый год начисляются на новую сумму?
Нужно каждый год умножать текущую сумму на множитель 1 + p/100, где p — годовая ставка в процентах. Для n лет начальную сумму умножают на (1 + p/100)ⁿ.
§ 15. Процентные расчёты
